ボラティリティはリスクの最も一般的な尺度ですが、いくつかのフレーバーがあります。 前の記事で、単純な歴史的ボラティリティを計算する方法を示しました。 、単純なボラティリティを改善し、指数加重移動平均（EWMA）について説明します。
ヒストリカルとインプライドボラティリティ
最初に、この測定基準を少し視点に入れてみましょう。 歴史的ボラティリティと暗黙的（または暗黙的）ボラティリティの2つの広範なアプローチがあります。 歴史的アプローチでは、過去はプロローグであると想定しています。 歴史が予測可能であることを期待して歴史を測定します。 一方、インプライドボラティリティは履歴を無視します。 市場価格が意味するボラティリティを解決します。 市場が最もよく知っていて、市場価格が暗黙的であっても、ボラティリティのコンセンサス推定を含むことを望んでいます。
上の3つの歴史的なアプローチ（左上）のみに焦点を当てる場合、共通する2つのステップがあります。
- 一連の定期的なリターンを計算 する重み付けスキームを適用する
最初に、定期的なリターンを計算します。 これは通常、各リターンが継続的に複合された用語で表される一連の毎日のリターンです。 毎日、株価の比率の自然対数を取ります（つまり、今日の価格を昨日の価格で除算するなど）。
。。。 ui = lnsi-1 si where：ui =当日のリターンisi =当日の株価isi-1 =一日前の株価i
これは、測定する日数（m =日）に応じて、u iからu imまでの一連の日次リターンを生成します。
これで2番目のステップに進みます。ここで3つのアプローチが異なります。 前回の記事では、いくつかの受け入れ可能な単純化の下で、単純な分散は二乗リターンの平均であることを示しました。
。。。 variance =σn2= m1Σi= 1m un-12 ''ここで、m =測定された日数n = dayiu =平均収益からの収益の差
これは、定期的なリターンのそれぞれを合計し、その合計を日数または観測値（m）で除算することに注意してください。 ですから、それは実際には二乗周期的リターンの単なる平均です。 別の言い方をすれば、各2乗リターンには同じ重みが与えられます。 したがって、alpha（a）が重み係数（具体的には、a = 1 / m）の場合、単純な分散は次のようになります。
EWMAは単純な分散を改善します
このアプローチの弱点は、すべてのリターンが同じウェイトを獲得することです。 昨日の（ごく最近の）リターンは、先月のリターンよりも分散に影響しません。 この問題は、指数関数的加重移動平均（EWMA）を使用することで修正されます。EWMAでは、最近のリターンでは分散の重みが大きくなります。
指数加重移動平均（EWMA）は、平滑化パラメーターと呼ばれるラムダを導入します。 ラムダは1未満でなければなりません。 その条件下では、等しい重みの代わりに、それぞれの2乗の戻り値は次のように乗数によって重み付けされます。
たとえば、金融リスク管理会社であるRiskMetrics TM は 、0.94（94％）のラムダを使用する傾向があります。 この場合、最初の（直近の）2乗周期リターンは（1-0.94）（。94） 0 = 6％で重み付けされます。 次の2乗戻り値は、前の重みのラムダ倍数です。 この場合、6％に94％を掛けた値= 5.64％です。 そして、3番目の前日の重みは（1-0.94）（0.94） 2 = 5.30％に等しくなります。
これがEWMAの「指数」の意味です。各重みは、前日の重みの定数乗数（つまり、1未満でなければならないラムダ）です。 これにより、より新しいデータに重み付けまたはバイアスされた分散が保証されます。 Googleの単純なボラティリティとEWMAの違いを以下に示します。
単純なボラティリティは、列Oに示すように、各定期的な収益を0.196％ずつ効果的に重み付けします（2年間の毎日の株価データがあります。つまり、509の毎日の収益と1/509 = 0.196％です）。 ただし、列Pが6％、5.66％、5.3％などの重みを割り当てていることに注意してください。 これが、単純分散とEWMAの唯一の違いです。
覚えておいてください：系列全体（列Q）を合計すると、標準偏差の2乗である分散があります。 ボラティリティが必要な場合、その分散の平方根を取ることを忘れないでください。
Googleの場合の分散とEWMAの間の毎日のボラティリティの違いは何ですか？ それは重要です：単純な分散は2.4％の毎日のボラティリティを与えましたが、EWMAはわずか1.4％の毎日のボラティリティを与えました（詳細についてはスプレッドシートを参照）。 どうやら、Googleのボラティリティは最近落ち着きました。 したがって、単純な分散は人為的に高くなる可能性があります。
今日の分散は前日の分散の関数です
指数関数的に減少する重みの長いシリーズを計算する必要があることに気付くでしょう。 ここでは計算を行いませんが、EWMAの最も優れた機能の1つは、シリーズ全体が便利に再帰式に還元されることです。
。。。 σn2（ewma）=λσn2+（1−λ）un-12ここで、λ=重みの減少の度合いσ2=期間nの値nu2 =期間nのEWMAの値
再帰とは、今日の分散参照（つまり、前日の分散の関数）を意味します。 この式はスプレッドシートでも確認でき、手書きの計算とまったく同じ結果が得られます！ 今日の分散（EWMAの下）は、昨日の分散（ラムダで重み付け）と昨日の2乗戻り値（1マイナスラムダで重み付け）に等しくなります。 昨日の重み付き分散と昨日の重み付き二乗リターンという2つの用語を加算していることに注目してください。
それでも、ラムダは平滑化パラメーターです。 高いラムダ（たとえば、RiskMetricの94％など）は、系列の減衰が遅いことを示します。相対的な観点では、系列内のデータポイントが多くなり、それらはよりゆっくりと "減衰"します。 一方、ラムダ値を小さくすると、減衰が大きくなります。重みがより速く減衰し、急速な減衰の直接的な結果として、使用されるデータポイントが少なくなります。 （スプレッドシートでは、ラムダは入力であるため、その感度を試すことができます）。
概要
ボラティリティは、株の瞬間的な標準偏差と最も一般的なリスク指標です。 分散の平方根でもあります。 分散を歴史的または暗黙的に測定することができます（暗黙のボラティリティ）。 歴史的に測定する場合、最も簡単な方法は単純な分散です。 しかし、単純な分散の弱点は、すべてのリターンが同じウェイトになることです。 したがって、古典的なトレードオフに直面します。常により多くのデータが必要ですが、より多くのデータがあればあるほど、計算は遠い（関連性の低い）データによって希釈されます。 指数加重移動平均（EWMA）は、周期的なリターンに重みを割り当てることにより、単純な分散を改善します。 これを行うことで、両方のサンプルサイズを大きくすることができますが、最近のリターンに大きな重みを与えることもできます。
