目次
- 正規（ベル曲線）分布
- リスクと返品
- 現代のポートフォリオ理論
- ビルディングブロック
- MPTの簡単な例
- MPTと配布の課題
- ボトムライン
正規分布は、すべての値を対称的な方法でプロットする確率分布であり、結果のほとんどは確率の平均の周りに位置します。
正規（ベル曲線）分布
データセット（100人の人間の身長、クラス内の45人の生徒が取得したマークなど）は、同じデータポイントまたは同じ範囲内で多くの値を持つ傾向があります。 このデータポイントの分布は、正規分布または釣鐘曲線分布と呼ばれます。
たとえば、100人のグループでは、10は5フィート未満、65は5〜5.5フィート、25は5.5フィートを超える場合があります。 この範囲限定分布は、次のようにプロットできます。
同様に、任意のデータセットのグラフにプロットされたデータポイントは、さまざまなタイプの分布に似ている場合があります。 最も一般的な3つは、左揃え、右揃え、ごちゃ混ぜの分布です。
これらの各グラフの赤いトレンドラインに注意してください。 これはデータ分布の傾向を大まかに示しています。 最初の「LEFT Aligned Distribution」は、データポイントの大部分がより低い範囲にあることを示しています。 2番目の「RIGHT Aligned Distribution」グラフでは、データポイントの大部分が範囲の上限に収まり、最後の「Jumbled Distribution」は明確な傾向のない混合データセットを表しています。
データポイントの分布が中心値付近になる傾向があり、そのグラフは完全な正規分布を示します-両側で均等にバランスが取れており、最も多くのデータポイントが中心に集中しています。
完全な正規分布データセットを次に示します。
ここでの中心値は50（データポイントの数が最も多い）であり、分布は0と100（データポイントの数が最も少ない）の極端な終了値に向かって均一にテーパーします。 正規分布は中央値を中心に対称で、各辺の値は半分です。
実際の例の多くは、ベル曲線分布に適合します。
- フェアコインを何度も（100回以上）投げると、頭と尻尾のバランスの取れた正規分布が得られますフェアサイコロのペアを何度も（100回以上）転がすと、結果はバランスの取れた正常なものになります分布は数7を中心とし、2と12の極端な値に向かって一様に先細りになります。かなりのサイズのグループの個人の身長とクラスの人々によって得られたマークは両方とも、通常の分布パターンに従います。ログ値 外国為替レート、価格指数、および株価の正規分布が想定されています。
リスクと返品
投資には、リスクとリターンという2つの側面があります。 投資家は、可能な限り高いリターンを得るために、可能な限り低いリスクを探します。 正規分布は、リターンの平均とリスクの標準偏差によってこれら2つの側面を定量化します。 （詳細については、「平均分散分析」を参照してください。）
平均値または期待値
株式の価格の特定の平均変化は、毎日1.5％である可能性があります。つまり、平均で1.5％上昇します。 この平均値または期待値のリターンは、その在庫の過去の1日の価格変化を含む十分な大きさのデータセットの平均を計算することで得られます。 平均値が高いほど、より良い結果が得られます。
標準偏差
標準偏差は、平均値から平均値が逸脱する量を示します。 標準偏差が大きいほど、投資のリスクが高くなり、不確実性が高まります。
以下は同じもののグラフィカルな表現です。
したがって、その平均および標準偏差による正規分布のグラフ表示により、明確に定義された範囲内でリターンとリスクの両方を表示できます。
一部のデータセットが正規分布パターンに従う場合、その平均によって期待される戻り値を知ることができ、その標準偏差により値の約68％を知ることができることがわかります（確実に保証されます）。は1標準偏差以内、95％は2標準偏差以内、99％の値は3標準偏差以内になります。 平均が1.5で標準偏差が1のデータセットは、平均が1.5で標準偏差が0.1の別のデータセットよりもはるかに危険です。
選択した各資産（つまり、株式、債券、ファンド）のこれらの値を知ることで、投資家は期待されるリターンとリスクを認識できます。
この概念を適用して、単一の株式、債券、またはファンドのリスクとリターンを表すのは簡単です。 しかし、これを複数の資産のポートフォリオに拡張できますか？
個人は、単一の株式または債券を購入するか、ミューチュアルファンドに投資することで取引を開始します。 徐々に、彼らは持ち株を増やし、複数の株式、ファンド、またはその他の資産を購入する傾向があり、それによってポートフォリオが作成されます。 このインクリメンタルシナリオでは、個人は戦略や先見の明なくポートフォリオを構築します。 プロのファンドマネージャー、トレーダー、マーケットメーカーは、「正規分布」の概念に基づいた現代ポートフォリオ理論（MPT）と呼ばれる数学的アプローチを使用して、ポートフォリオを構築する体系的な方法に従います。
現代のポートフォリオ理論
現代のポートフォリオ理論（MPT）は、さまざまな資産の割合を選択することにより、ポートフォリオリスクの特定の量に対するポートフォリオの期待収益を最大化することを目的とした体系的な数学的アプローチを提供します。 代わりに、所定の期待収益率に対するリスクを最小限に抑えることもできます。
この目的を達成するために、ポートフォリオに含まれる資産は、個々のメリットだけに基づいて選択されるのではなく、ポートフォリオ内の他の資産と比較して各資産がどのように機能するかに基づいて選択される必要があります。
簡単に言えば、MPTは、可能な限り最高の結果を得るためにポートフォリオの多様化を最適に達成する方法を定義します。リスクの許容レベルに対する最大のリターンまたは望ましいレベルのリターンに対する最小のリスク。
ビルディングブロック
MPTは、発明者がノーブル賞を受賞するほど導入されたとき、非常に革新的な概念でした。 この理論は、投資の多様化を導く数式をうまく提供しました。
多様化とは、非相関の株式、セクター、または資産クラスに投資することにより、「1つのバスケット内のすべての卵」リスクを除去するリスク管理手法です。 理想的には、ポートフォリオ内の1つの資産のプラスのパフォーマンスが他の資産のマイナスのパフォーマンスをキャンセルします。
n個の 異なる資産を持つポートフォリオの平均収益率を取得するために、構成資産の収益率の比例加重組み合わせが計算されます。
統計計算と正規分布の性質により、ポートフォリオ全体の収益（R p ）は次のように計算されます。
。。。 Rp = ∑wi Ri
合計（∑）、ここでw iはポートフォリオ内の資産iの比例ウェイト、R iは資産iのリターン（平均）です。
ポートフォリオリスク（または標準偏差）は、すべての資産ペア（ペア内の互いに関する）について、含まれる資産の相関の関数です。
統計計算と正規分布の性質により、ポートフォリオ全体のリスク（Std-dev） pは次のように計算されます。
。。。 （Std-dev）p = sqrt
ここで、cor-cofは資産iとjのリターン間の相関係数であり、sqrtは平方根です。
これにより、各資産の相対的なパフォーマンスが処理されます。
これは数学的に複雑に見えますが、ここで適用される単純な概念には、個々の資産の標準偏差だけでなく、相互に関連する資産も含まれます。
良い例は、ここワシントン大学から入手できます。
MPTの簡単な例
思考実験として、資本が与えられ、2つの利用可能な資産（AおよびB）にどれだけの資本を割り当てる必要があるのかを期待して、期待収益が最大化され、リスクが低下するポートフォリオマネージャーを想像してみましょう。
また、次の値を使用できます。
R a = 0.175
R b = 0.055
（標準開発） a = 0.258
（標準開発） b = 0.115
（標準開発） ab = -0.004875
（Cor-cof） ab = -0.164
各資産AおよびBへの50-50の均等な割り当てから始めて、R pは0.115に計算され、（Std-dev） pは0.1323になります。 簡単な比較により、この2つの資産ポートフォリオでは、各資産の個々の価値の中間に収益とリスクが存在することがわかります。
ただし、私たちの目的は、ポートフォリオのリターンを個々の資産の単なる平均を超えて改善し、リスクを軽減して、個々の資産よりも低くすることです。
資産Aで1.5の資本配分ポジション、資産Bで-0.5の資本配分ポジションを取りましょう（負の資本配分は、受け取った株式と資本を使用して、正の資本配分で他の資産の余剰を購入することを意味します。つまり、株式Bを0.5倍の資本で短絡させ、そのお金を使って株式Aを資本の1.5倍の金額で購入しています）
これらの値を使用して、R pを0.1604、（Std-dev） pを0.4005として取得します。
同様に、アセットAとBに引き続き異なる割り当てウェイトを使用して、Rpと（Std-dev）pの異なるセットに到達できます。 希望する収益（Rp）に応じて、最も許容可能なリスクレベル（std-dev）pを選択できます。 あるいは、希望するリスクレベルに対して、利用可能な最良のポートフォリオリターンを選択できます。 いずれにせよ、ポートフォリオ理論のこの数学的モデルにより、望ましいリスクとリターンの組み合わせで効率的なポートフォリオを作成するという目的を満たすことができます。
自動化されたツールを使用することにより、長時間の手動計算を必要とせずに、可能な限り最適な配分比率を簡単かつスムーズに簡単に検出できます。
効率的なフロンティア、資本資産価格モデル（CAPM）、およびMPTを使用した資産価格設定も、同じ正規分布モデルから発展し、MPTの拡張機能です。
MPT（および基礎となる正規分布）の課題
残念ながら、完璧な数学的モデルはなく、それぞれに不十分さと制限があります。
株価のリターン自体が正規分布に従うという基本的な仮定は、何度も疑問視されています。 値が仮定された正規分布を順守できない場合の十分な経験的証拠があります。 このような仮定に基づいて複雑なモデルを作成すると、大きな偏差のある結果になる可能性があります。
さらにMPTに進むと、（履歴データに基づいて）固定されたままの相関係数と共分散に関する計算と仮定は、将来の期待値に必ずしも当てはまるとは限りません。 たとえば、債券市場と株式市場は2001年から2004年の期間に英国市場で完全な相関関係を示し、両方の資産からのリターンが同時に低下しました。 実際には、2001年以前の長い歴史的期間にわたってその逆が観察されています。
この数学的モデルでは、投資家の行動は考慮されていません。 わずかな資本配分と資産のショートの可能性が想定されている場合でも、税金と取引コストは無視されます。
実際には、これらの仮定はいずれも当てはまらない可能性があります。つまり、実現した財務収益は期待利益と大きく異なる場合があります。
ボトムライン
数学モデルは、いくつかの変数を単一の追跡可能な数値で定量化するための優れたメカニズムを提供します。 しかし、仮定の制限により、モデルは失敗する可能性があります。
ポートフォリオ理論の基礎を形成する正規分布は、必ずしも株式およびその他の金融資産の価格パターンに適用されるとは限りません。 ポートフォリオ理論自体には、重要な財務上の決定を下す前に、批判的に検討すべき多くの仮定があります。
