多重線形回帰– MLRとは何ですか？
単に重回帰とも呼ばれる多重線形回帰（MLR）は、いくつかの説明変数を使用して応答変数の結果を予測する統計手法です。 多重線形回帰（MLR）の目標は、説明（独立）変数と応答（従属）変数の間の線形関係をモデル化することです。
本質的に、重回帰は、複数の説明変数を含む通常の最小二乗（OLS）回帰の拡張です。
多重線形回帰の式は
。。。 yi ==β0+β1xi1 +β2xi2 +… +βpxip + ϵここで、i = n個の観測値の場合：yi =従属変数xi =拡張変数β0= y切片（定数term）βp=各説明変数の勾配係数ϵ =モデルの誤差項（残差としても知られています）
多重線形回帰の説明
単純線形回帰は、アナリストまたは統計学者が別の変数について知られている情報に基づいて、ある変数について予測を行うことを可能にする関数です。 線形回帰は、2つの連続変数（独立変数と従属変数）がある場合にのみ使用できます。 独立変数は、従属変数または結果を計算するために使用されるパラメーターです。 重回帰モデルは、いくつかの説明変数に拡張されます。
重回帰モデルは、次の前提に基づいています。
- 従属変数と独立変数の間には線形関係があります。独立変数は互いにあまり相関していません。yiの観測値は母集団から独立してランダムに選択されます。残差は平均0と分散で正規分布する必要があります。 σ。
決定係数（R-2乗）は、独立変数の変動によって結果の変動がどの程度説明できるかを測定するために使用される統計メトリックです。 予測変数が結果変数に関連していない場合でも、MLRモデルに予測変数が追加されると、R 2は常に増加します。
したがって、R 2自体を使用して、モデルに含めるべき予測子と除外すべき予測子を識別することはできません。 R 2は0〜1の間のみです。0は、独立変数のいずれでも結果を予測できないことを示し、1は、独立変数からエラーなしで結果を予測できることを示します。
重回帰の結果を解釈するとき、ベータ係数は有効ですが、他のすべての変数を一定に保ちます（「その他すべて等しい」）。 重回帰の出力は、方程式として水平に表示することも、表形式で垂直に表示することもできます。
多重線形回帰を使用した例
たとえば、アナリストは、市場の動きがエクソンモービル（XOM）の価格にどのように影響するかを知りたい場合があります。 この場合、彼の線形方程式は、S&P 500インデックスの値を独立変数または予測子として、XOMの価格を従属変数として持ちます。
実際には、イベントの結果を予測する複数の要因があります。 たとえば、エクソンモービルの価格変動は、市場全体のパフォーマンス以上のものに依存しています。 石油価格、金利、石油先物の価格変動などの他の予測変数は、XOMの価格と他の石油会社の株価に影響を与える可能性があります。 3つ以上の変数が存在する関係を理解するために、重線形回帰が使用されます。
多重線形回帰（MLR）は、いくつかのランダム変数間の数学的関係を決定するために使用されます。 言い換えると、MLRは、複数の独立変数が1つの従属変数にどのように関係しているかを調べます。 独立変数のそれぞれが従属変数を予測するように決定されると、複数の変数に関する情報を使用して、結果変数に対する影響のレベルの正確な予測を作成できます。 このモデルは、すべての個々のデータポイントに最も近い直線（線形）の形で関係を作成します。
上記のMLR方程式を参照して、この例では：
- y i =従属変数：XOMの価格i1 =金利x i2 =原油価格x i3 = S&P 500指数の値x i4 =原油先物の価格B 0 = ゼロ時のy切片B 1 =従属の単位変化を測定する回帰係数x i1が変化するときの変数-金利が変化するときのXOM価格の変化B 2 = x i2が変化するときの従属変数の単位変化を測定する係数値–原油価格が変化するときのXOM価格の変化
最小二乗推定値B 0 、B 1 、B 2 …B pは通常、統計ソフトウェアによって計算されます。 各独立変数が1、2、3、4… pの数で区別される回帰モデルには、多くの変数を含めることができます。 重回帰モデルにより、アナリストは複数の説明変数で提供された情報に基づいて結果を予測できます。
それでも、各データポイントはモデルによって予測される結果とわずかに異なる可能性があるため、モデルは常に完全に正確であるとは限りません。 実際の結果と予測結果の差である残差値Eは、このようなわずかな変動を考慮してモデルに含まれています。
統計計算ソフトウェアを介してXOM価格回帰モデルを実行すると仮定すると、次の出力が返されます。
アナリストはこの出力を、他の変数が一定に保たれていると解釈し、市場の石油価格が1％上昇するとXOMの価格は7.8％上昇します。 また、このモデルは、金利が1％上昇した後、XOMの価格が1.5％低下することも示しています。 R 2は、エクソンモービルの株価の変動の86.5％が、金利、原油価格、原油先物、およびS&P 500指数の変化によって説明できることを示しています。
重要なポイント
- 単純な重回帰とも呼ばれる多重線形回帰（MLR）は、応答変数の結果を予測するために複数の説明変数を使用する統計的手法です。多重回帰は、1つの説明変数のみを使用する線形（OLS）回帰の拡張です。 MLRは、計量経済学および財務推論で広く使用されています。
線形回帰と重回帰の違い
線形（OLS）回帰は、説明変数に変化があった場合の従属変数の応答を比較します。 ただし、従属変数が1つの変数によってのみ説明されることはまれです。 この場合、アナリストは複数の回帰を使用し、複数の独立変数を使用して従属変数を説明しようとします。 多重回帰は、線形および非線形になります。
多重回帰は、従属変数と独立変数の間に線形関係があるという仮定に基づいています。 また、独立変数間に大きな相関関係がないことも想定しています。
