線形関係の定義

線形関係とは

線形関係（または線形関連）は、変数と定数の間の直線関係を記述するために使用される統計用語です。線形関係は、変数と定数が直線で接続されているグラフィック形式、または独立変数に従属係数を決定する定数を加えた勾配係数を掛ける数学形式で表現できます。

線形関係は、多項式または非線形（曲線）関係と対比される場合があります。

重要なポイント

線形関係（または線形関連付け）は、変数と定数の間の直線関係を記述するために使用される統計用語です。線形関係は、グラフィカル形式またはy = mx + bの形式の数式として表現できます。線形関係は日常生活ではかなり一般的です。

線形方程式は次のとおりです。

数学的には、線形関係は次の方程式を満たす関係です。

。。。 $\begin{matrix} y = m バツ + b \\ どこ： \\ m = スロープ \\ b = y切片 \end{matrix} \ begin {aligned}&y = mx + b \\&\ textbf {where：} \&m = \ text {slope} \&b = \ text {y-intercept} \ \ end {aligned}$ y = mx + bwhere：m = slopeb = y-intercept

この式で、「x」と「y」は、パラメータ「m」と「b」によって関連付けられた2つの変数です。グラフィカルに、y = mx + bは、xy平面に勾配「m」とy切片「b」を持つ線としてプロットします。y切片「b」は、x = 0の場合の「y」の値です。勾配「m」は、2つの個々の点（x ₁ 、y ₁ ）および（x ₂ 、y ₂ ）から次のように計算されます。

。。。 $m = \frac{（ y_{2} - y_{1} ）}{（ {バツ}_{2} - {バツ}_{1} ）} m = \ frac {（y_2-y_1）} {（x_2-x_1）}$ m =（x2 −x1）（y2 ‐y1）

線形関係

線形関係から何がわかりますか？

線形関係を表すために方程式が満たさなければならない必要な基準は3セットあります。線形関係を表す方程式は3つ以上の変数で構成することはできません。方程式のすべての変数は1乗でなければなりません、方程式は直線としてグラフ化する必要があります。

数学の線形関数は、加法性と均一性の特性を満たすものです。線形関数は、2つ以上の入力の正味の出力が個々の入力の出力の合計に等しいことを示す重ね合わせ原理も観察します。一般的に使用される線形関係は相関関係です。相関関係は、ある変数が別の変数の変化に対して線形に変化する方法を示します。

計量経済学では、線形回帰は線形関係を生成してさまざまな現象を説明するためによく使用される方法です。ただし、すべての関係が線形ではありません。一部のデータは湾曲した関係（多項式関係など）を記述しますが、さらに他のデータはパラメーター化できません。

線形関数

線形関係に数学的に似ているのは、線形関数の概念です。 1つの変数では、線形関数は次のように記述できます。

。。。 $\begin{matrix} f （バツ） = m バツ + b \\ どこ： \\ m = スロープ \\ b = y切片 \end{matrix} \ begin {aligned}&f（x）= mx + b \\&\ textbf {where：} \&m = \ text {slope} \&b = \ text {y-intercept} \ \ end {aligned}$ f（x）= mx + bwhere：m = slopeb = y-intercept

これは、記号f（x）が yの代わりに使用されることを除いて、線形関係の指定された式と同じです。この置換は、xがf（x）にマッピングされるという意味を強調するために行われますが、 y の使用は、xとyがAとBによって関連付けられた2つの量であることを示しています

線形代数の研究では、線形関数の特性が広範囲に研究され、厳密にされています。 R ^NからスカラーCと2つのベクトルAおよびBが与えられると、線形関数の最も一般的な定義は次のようになります： $c \times f （ A + B ） = c \times f （ A ） + c \times f （ B ） c \ times f（A + B）= c \ times f（A）+ c \ times f（B）$ c×f（A + B）= c×f（A）+ c×f（B）

線形関係の例

例1

線形関係は日常生活ではかなり一般的です。たとえば、速度の概念を考えてみましょう。速度の計算に使用する式は次のとおりです。速度の割合は、時間の経過に伴う移動距離です。 2007年の白いクライスラータウンアンドカントリーミニバンの誰かが、カリフォルニア州のサクラメントとメリーズビルの間を高速道路99で41.3マイルの距離を移動していて、完全な移動に40分かかった場合、彼女は60 mph未満で移動していました。

この方程式には3つ以上の変数がありますが、変数の1つは常に定数（距離）になるため、線形方程式のままです。

例2

直線関係は、距離=レートx時間の式でも見つけることができます。（ほとんどの場合）距離は正数であるため、この線形関係は、X軸とY軸を持つグラフの右上の象限に表されます。

2人用の自転車が20時間、1時間あたり30マイルの速度で走行している場合、ライダーは600マイルを走行します。 Y軸に距離、X軸に時間でグラフィカルに表現すると、それらの20時間にわたる距離を追跡する線は、X軸とY軸の収束からまっすぐに移動します。

例3

摂氏を華氏に、または華氏を摂氏に変換するには、次の式を使用します。これらの方程式は、グラフ上の線形関係を表します。

。。。 $° C = \frac{5}{9} （ ° F - 32 ） \ degree C = \ frac {5} {9}（\ degree F-32）$ °C = 95（°F−32）

。。。 $° F = \frac{9}{5} （ ° C + 32 ） \ degree F = \ frac {9} {5}（\ degree C + 32）$ °F = 59（°C + 32）

例4

独立変数は、207.65の勾配係数で乗算され、定数項$ 10, 500に加算されるときに家の市場価格（従属変数）を決定する家のサイズ（平方フィートで測定）であると仮定します。。家の面積が1, 250である場合、家の市場価値は（1, 250 x 207.65）+ $ 10, 500 = $ 270, 062.50です。グラフィカルかつ数学的には、次のように表示されます。

この例では、家のサイズが大きくなると、家の市場価値は直線的に増加します。

2つのオブジェクト間の線形関係は、「比例定数」と呼ばれる場合があります。この関係は

。。。 $\begin{matrix} Y = k \times バツ \\ どこ： \\ k = 絶え間ない \\ Y 、バツ = 比例量 \end{matrix} \ begin {aligned}&Y = k \ times X \\&\ textbf {where：} \&k = \ text {constant} \&Y、X = \ text {proportional quantitys \\\\ \ end {aligned}$ Y = k×Xwhere：k = constantY、X =比例量

行動データを分析するとき、変数間に完全な線形関係があることはめったにありません。ただし、トレンドラインは、線形関係の大まかなバージョンを形成するデータに含まれています。たとえば、アイスクリームの販売と病院訪問数をグラフの2つの変数として見て、2つの間の線形関係を見つけることができます。

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