複利の定義

目次

• 複利とは何ですか？
• 複利の計算
• 複利の成長
• 複利期間
• Excelコンパウンド計算
• 他の計算機の使用
• 複合の頻度
• お金の対価の時間価値
• 「72のルール」の考慮事項
• 複合年間成長率
• 配合の長所と短所
• 複利投資
• 関心が複合されているかどうかを伝える

複利とは何ですか？

複利（または複利）は、元本について計算された利子であり、これには、預金またはローンの過去の期間の累積利子もすべて含まれます。 17世紀のイタリアに起源があると考えられていた複利は、「利子への関心」と考えることができ、元本のみで計算される単利よりも速いペースで合計が増加します。

重要なポイント

• 複利（または複利）は、元本に基づいて計算された利子であり、これには、預金またはローンの過去の期間の累積利息もすべて含まれます。複利は、元本に1を加えた年利率を乗じて計算されます。複利期間の数から1を引いたものになります。利息は、連続から日次、年次まで、任意の頻度スケジュールで複利計算できます。複利を計算する場合、複利計算期間の数は大きな違いをもたらします。

複利が発生する割合は複利の頻度に依存するため、複利期間の数が多いほど複利が大きくなります。 したがって、同じ期間に半年ごとに5％で複利計算される100ドルの年間利率よりも、毎年10％で複利計算される100ドルで生じる複利の額は低くなります。 利息利益効果は、当初の元本額に基づいてますます肯定的な利益を生み出す可能性があるため、「複利の奇跡」と呼ばれることもありました。

複利を理解する

複利の計算

複利は、最初の元本に1を加え、複利期間から1を引いた年利率を乗じて計算されます。 ローンの初期合計額は、結果の値から差し引かれます。

ケイティ・カーペル{Copyright} Investopedia、2019。

複利の計算式は次のとおりです。

複利=プリンシパルと利息の合計額（または将来価値）から現在のプリンシパル額（または現在価値）を引いたもの

= – P

= P

（P =プリンシパル、 i =パーセントで表した名目年利、n =複利計算期間の数）

毎年複利となる5％の金利で10, 000ドルの3年ローンを取ります。 興味の量はいくらですか？ この場合、10, 000ドル= 10, 000ドル= 1, 576.25ドルになります。

複利の成長

上記の例を使用すると、複利は前の期間の累積利子も考慮に入れるため、利子の金額は単利の場合と同様に3年間すべて同じではありません。 このローンの3年間で支払われる利息の合計は1, 576.25ドルですが、各年の終わりに支払われる利息は下の表に示されています。

複利期間

複利を計算する場合、複利計算期間の数が大きく異なります。 基本的なルールは、複利計算期間の数が多いほど複利の額が大きくなるということです。

次の表は、複利計算期間の数が、10年間で年間10％の金利で10, 000ドルのローンを作成できることの違いを示しています。

複利は、長期にわたって投資収益を大幅に高めることができます。 5％の単利を受け取る100, 000ドルのデポジットは10年間で5万ドルの利息を獲得しますが、10, 000ドルで5％の複利は同じ期間で62, 889.46ドルになります。

Excelコンパウンド計算

数学の授業が始まってからしばらく経っている場合は、心配しないでください。複眼計算に役立つ便利なツールがあります。 多くの電卓（ハンドヘルドとコンピューターベースの両方）には、これらの目的に利用できる指数関数があります。 より複雑な複合タスクが発生した場合、Microsoft Excelを使用して3つの異なる方法で実行できます。

1. 複利を計算する最初の方法は、毎年の新しい残高に金利を掛けることです。 毎年複利となる5％の利率で普通預金口座に1, 000ドルを預け、5年間で残高を計算するとします。 Microsoft Excelで、セルA1に「年」、セルB1に「残高」を入力します。 セルA2〜A7に0〜5年を入力します。 0年目の残高は1, 000ドルなので、セルB2に「1000」と入力します。 次に、セルB3に「= B2 * 1.05」と入力します。 次に、セルB4に「= B3 * 1.05」と入力し、セルB7に到達するまでこれを続けます。 セルB7では、計算は「= B6 * 1.05」です。 最後に、セルB7の計算値-1, 276.28ドルは、5年後の普通預金口座の残高です。 複利値を見つけるには、1, 276.28ドルから1, 000ドルを引きます。 これにより、276.28ドルの値が得られます。複利を計算する2番目の方法は、固定式を使用することです。 複利計算式は（（P *（1 + i）^ n）-P）です。ここで、Pは元金、iは年間利率、nは期間数です。 上記と同じ情報を使用して、「プリンシパル値」をセルA1に、1000をセルB1に入力します。 次に、「金利」をセルA2に、「。05」をセルB2に入力します。 「複合期間」をセルA3に、「5」をセルB3に入力します。 「=（B1 *（1 + B2）^ B3）-B1」と入力すると、セルB4の複利を計算できます。これにより、276.28ドルが得られます。複利を計算する3番目の方法は、マクロ関数を作成することです。 最初に、開発者タブにあるVisual Basic Editorを起動します。 [挿入]メニューをクリックし、[モジュール]をクリックします。 次に、最初の行に「Function Compound_Interest（P As Double、i As Double、n As Double）As Double」と入力します。 2行目で、タブキーを押し、「Compound_Interest =（P *（1 + i）^ n）-P」と入力します。 モジュールの3行目に、「End Function」と入力します。 複合金利を計算する関数マクロを作成しました。 上記の同じExcelワークシートから続けて、セルA6に「複合金利」と入力し、「= Compound_Interest（B1、B2、B3）」と入力します。 これにより、276.28ドルの値が得られます。これは、最初の2つの値と一致しています。

他の計算機の使用

前述のように、多数の無料複利計算機がオンラインで提供されており、多くのハンドヘルド計算機もこれらのタスクを実行できます。

• Financial-Calculators.comで提供される無料の複利計算機は操作が簡単で、毎日から毎年まで複合周波数の選択肢を提供します。 継続的な複合を選択するオプションが含まれており、実際のカレンダーの開始日と終了日を入力することもできます。 必要な計算データを入力すると、結果には、利子、将来価値、複利を含む指標である年利回り（APY）、および毎日の利子が表示されます。Investor.gov、米国証券取引委員会（ SEC）、無料のオンライン複利計算機を提供しています。 計算機は非常にシンプルですが、元本に毎月追加の入金を入力できるため、追加の毎月の貯蓄が行われる収益を計算するのに役立ちます。 この計算機では、異なる通貨の計算、毎月の預金または引き出しを考慮に入れる機能、および毎月の預金または引き出しに対するインフレ調整後の増加を自動的に計算するオプションを使用できます。

複合の頻度

関心は、毎日から毎年まで、任意の頻度のスケジュールで複利することができます。 通常、金融商品に適用される標準の複合頻度スケジュールがあります。

銀行の普通預金口座によく使用される調合スケジュールは毎日です。 CDの場合、一般的な調合頻度のスケジュールは、毎日、毎月、または半年ごとです。 マネーマーケットアカウントでは、多くの場合毎日です。 住宅ローン、ホームエクイティローン、個人事業ローンまたはクレジットカード口座の場合、最も一般的に適用される調合スケジュールは毎月です。 また、未収利息が実際に既存の残高に貸方記入される時間枠に変動がある場合があります。 アカウントの利息は毎日複利計算される場合がありますが、クレジットは毎月のみです。 利息が実際に貸方記入されるか、既存の残高に追加される場合にのみ、口座への追加の利息を獲得し始めます。

一部の銀行では、継続的な複利と呼ばれるものも提供しています。これにより、あらゆる瞬間に元本に利子が追加されます。 実際には、同じ日にお金を出し入れしたいのでない限り、毎日の複利を超えることはありません。

利子のより頻繁な複利は、投資家または債権者にとって有益です。 借り手にとっては、逆のことが当てはまります。

お金の対価の時間価値

お金の時間的価値と複利によって生じる指数関数的成長を理解することは、収入と富の配分を最適化しようとする投資家にとって不可欠です。

将来価値（FV）と現在価値（PV）を取得する式は次のとおりです。

FV = PV（1 + i） ⁿおよびPV = FV /（1 + i） ⁿ

たとえば、3年間、年間5％で複利計算された10, 000ドルの将来価値：

= 10, 000ドル（1 + 0.05） ³

= 10, 000ドル（1.157625）

= 11, 576.25ドル

現在の価値11, 576.25ドルは、3年間5％割引されました。

= 11, 576.25ドル/（1 + 0.05） ³

= 11, 576.25 / 1.157625

= 10, 000ドル

この例では、0.8638376に等しい1.157625の逆数が割引係数です。

「72のルール」の考慮事項

いわゆる72のルールは、投資が特定の収益率または利率「i」で2倍になるおおよその時間を計算し、（72 / i）で与えられます。 毎年の調合にのみ使用できます。

例として、年率6％の投資は12年で2倍になります。

したがって、年間収益率8％の投資は9年で2倍になります。

複合年間成長率（CAGR）

複合年間成長率（CAGR）は、一定の期間にわたる単一の成長率の計算を必要とするほとんどの金融アプリケーションに使用されます。

5年間で投資ポートフォリオが10, 000ドルから16, 000ドルに成長したとします。 CAGRとは何ですか？ 基本的に、これはPV =-$ 10, 000、FV = $ 16, 000、nt = 5を意味するため、変数「i」を計算する必要があります。 財務計算機またはExcelを使用すると、i = 9.86％であることがわかります。

（キャッシュフローの慣習によれば、10, 000ドルの初期投資（PV）は、資金の流出を表すため負の符号で示されます。PVとFVは、上記の「i」を解くために必ず反対の符号を持たなければなりません。方程式）。

CAGRの実際のアプリケーション

CAGRは、株式、投資信託、投資ポートフォリオの期間にわたる収益を計算するために広く使用されています。 CAGRは、ミューチュアルファンドマネージャーまたはポートフォリオマネージャーが一定期間市場の収益率を超えているかどうかを確認するためにも使用されます。 たとえば、市場指数が5年間で10％のトータルリターンを提供しているのに、ファンドマネージャーが同じ期間で9％の年間リターンしか生み出していない場合、マネージャーは市場のパフォーマンスを下回っています。

CAGRは、長期にわたる投資ポートフォリオの予想成長率の計算にも使用できます。これは、退職後の貯蓄などの目的に役立ちます。 次の例を考慮してください。

例1：リスク回避投資家は、ポートフォリオの年率3％の適度な利益に満足しています。 したがって、彼女の現在の100, 000ドルのポートフォリオは、20年後に180, 611ドルに成長します。 対照的に、ポートフォリオで年率6％のリターンを期待するリスク許容投資家の場合、20年後には100, 000ドルが320, 714ドルに成長します。

例2： CAGRを使用して、特定の目的のために節約するためにどれだけ収納する必要があるかを推定できます。 マンションの頭金に10年で50, 000ドルを節約したいカップルは、貯蓄の年間収益（CAGR）が4％であると仮定した場合、年間4, 165ドルを節約する必要があります。 彼らが少し余分なリスクを負い、5％のCAGRを期待する場合、彼らは年間3, 975ドルを節約する必要があります。

例3： CAGRは、人生の後半よりも早期に投資することの長所を示すためにも使用できます。 6％のCAGRに基づいて65歳で退職することで100万ドルを節約することが目的の場合、25歳の人はこの目標を達成するために年間6, 462ドルを節約する必要があります。 一方、40歳の人は、同じ目標を達成するために、18, 227ドル、またはそのほぼ3倍の額を節約する必要があります。

• CAGRは、経済データにも頻繁に登場します。 例は次のとおりです。中国の一人当たりGDPは、1980年の193ドルから2012年には6, 091ドルに増加しました。この32年間における一人当たりGDPの年間成長率はどのくらいですか？ この場合の成長率「i」は、11.4％と印象的です。

配合の長所と短所

複合の魔法は、アルバート・アインシュタインが世界または人類の最大の発明の8番目の不思議と呼んでいるという外伝的な物語につながっていますが、複合は、クレジットカードの借金など、非常に高金利のローンを持つ消費者に対しても機能します。 毎月複利20％の金利で実行されるクレジットカード残高20, 000ドルは、1年間で合計4, 388ドル、または月あたり約365ドルの複利になります。

プラス面として、複利の魔法は投資に関して有利に働くことができ、富の創造の強力な要因となります。 複利からの指数関数的成長は、生活費の上昇、インフレ、購買力の低下など、富を損なう要因を緩和する上でも重要です。

投資信託は、投資家が複利の利益を享受する最も簡単な方法の1つを提供します。 ミューチュアルファンドから派生した配当を再投資することを選択すると、ファンドのより多くの株式を購入することになります。 より多くの複利が時間の経過とともに蓄積し、より多くの株式を購入するサイクルは、ファンドへの投資の価値の増大を支援し続けます。

最初の5, 000ドルと年間2, 400ドルの追加で投資信託投資を開始したとします。 30年の平均年間収益率12％で、このファンドの将来価値は798, 500ドルです。 複利は、投資に貢献した現金と投資の実際の将来価値との差です。 この場合、30年間で77, 000ドルまたは1か月あたりわずか200ドルの累積拠出を行うことにより、複利は将来の残高の721, 500ドルになります。 もちろん、複利からの収益は課税されますが、そのお金が非課税の口座にある場合を除きます。 通常、納税者の​​税金区分に関連する標準税率で課税されます。

複利投資

証券会社の口座内で再投資計画を選択する投資家は、本質的に、投資するものすべてに複利の力を使用しています。 投資家はゼロクーポン債の購入で複利を経験することもできます。 従来の債券発行は、債券発行の元の条件に基づいて投資家に定期的な利子の支払いを提供します。これらは小切手の形で投資家に支払われるため、利子は増えません。 ゼロクーポン債は投資家に利息チェックを送信しません。 代わりに、このタイプの債券は元の値まで割引価格で購入され、時間とともに成長します。 ゼロクーポンの債券発行者は、複利の力を使用して債券の価値を高め、満期時に満額に達するようにします。

ローンの返済を行う際にも、コンパウンディングが機能します。 たとえば、1か月に1回全額を支払うのではなく、1か月に2回、住宅ローンの半分を支払うと、償却期間が短縮され、かなりの利息が節約されます。 ローンと言えば…

関心が複合されているかどうかを伝える

Truth in Lending Act（TILA）は、貸し手が潜在的な借り手にローンの条件を開示することを要求しています。これには、ローンの存続期間にわたって返済される利息の総額と、利子が単純に発生するか、複利されるかが含まれます。

もう1つの方法は、ローンの利率を年率（APR）と比較することです。これは、TILAが貸し手にも開示を要求しています。 APRは、すべての利子と手数料を含むローンの金融費用を単純な金利に変換します。 金利とAPRの実質的な違いは、2つのシナリオの1つまたは両方を意味します。ローンが複利を使用するか、金利に加えて多額のローン手数料が含まれます。