年金の現在価値と将来価値の計算

私たちのほとんどは、家賃や車の支払いなど、一定期間にわたって一連の固定支払いを行ったり、債券やCDからの利子など、一定期間にわたって一連の支払いを受け取ったりした経験があります。これらは技術的には「年金」として知られています（年金と呼ばれる金融商品と混同しないでください。2つは関連しています）。

そのような支払いの費用または最終的に価値があるものを測定する方法はいくつかあります。年金の現在価値または将来価値の計算について知っておくべきことは次のとおりです。

重要なポイント

アパートの家賃や債券の利子などの定期的な支払いは、「年金」と呼ばれることもあります。通常の年金では、支払いは各期間の終わりに行われます。年金の支払い期限が到来すると、それらは最初に作成されます。年金の将来価値は、特定の時点での支払いの合計額です。現在価値とは、これらの将来の支払いを生み出すために現在どれだけのお金が必要かということです。

2種類の年金

この意味での年金は、2つの基本的なタイプに分類されます。通常の年金と未払い年金です。

通常の年金。通常の年金は、各期間の終わりに支払いを行います（または要求します）。たとえば、債券は通常、6か月ごとに利息を支払います。対照的に、年金の支払期日では、各期間の初めに支払いが行われます。一般的な例として、家主が毎月初めに必要とする家賃があります。

次の式を使用して、通常の年金または未払い年金の現在価値または将来価値を計算できます。

通常の年金の将来価値の計算

将来価値（FV）は、指定された金利が与えられた場合に、将来のある時点で一連の定期的な支払いがどれだけ価値があるかを示す尺度です。そのため、たとえば、毎月または毎年特定の金額を投資する計画がある場合、将来の日付の時点でどれだけの金額を蓄積するかがわかります。ローンの定期的な支払いを行っている場合、将来の価値はローンの総費用を決定するのに役立ちます。

たとえば、定期的な間隔で行われた5回の$ 1, 000支払いのシリーズを考えてみましょう。

画像：Julie Bang©Investopedia 2019

お金の時間的価値-一定の金額はその間に投資できるため、将来よりも価値があるという概念-のため、最初の1, 000ドルの支払いは2番目の支払いよりも価値があります。したがって、今後5年間、利率5％で毎年1, 000ドルを投資すると仮定します。これは、5年の期間の終わりにどれだけ持っているかです。

画像：Julie Bang©Investopedia 2019

ただし、各支払いを個別に計算してから合計するのではなく、この式を使用すると、最終的にどのくらいのお金があるかがわかります。

。。。 $\begin{matrix} {F V}_{普通年金} = C \times \\ どこ： \\ C = 期間ごとのキャッシュフロー \\ 私 = 金利 \\ n = 支払い回数 \end{matrix} \ begin {aligned}&\ text {FV} _ { text {Ordinary〜Annuity}} = \ text {C} times \ left \\&\ textbf {where：} \&\ text {C} = \ text {期間ごとのキャッシュフロー} \&i = \ text {interest rate} \&n = \ text {支払い回数} \ \ end {aligned}$ FVOrdinary Annuity = C×where：C =期間あたりのキャッシュフローi =利率n =支払い回数

上記の例を使用すると、次のようになります。

。。。 $\begin{matrix} {F V}_{普通年金} & = $ 1 、 000 \times \\ = $ 1 、 000 \times 5 。 53 \\ = $ 5 、 525 。 63 \end{matrix} \ begin {aligned} text {FV} _ { text {Ordinary〜Annuity}}&= \ $ 1, 000 \ times \ left \\&= \ $ 1, 000 \ times 5.53 \\&= \ $ 5, 525.63 \\ \ end {aligned}$ FVO普通年金== 1, 000ドル×= 1, 000ドル×5.53 = 5, 525.63ドル

これらの結果の1セントの差である5, 525.64ドルと5, 525.63ドルは、最初の計算での丸めによるものであることに注意してください。

通常の年金の現在価値の計算

将来価値の計算とは対照的に、現在価値（PV）の計算では、将来的に一連の支払いを行うために現在どのくらいのお金が必要かがわかります。

5年間で5回の1, 000ドルの支払いを行う同じ例を使用して、現在価値の計算がどのようになるかを示します。 5％の利子で投資された4, 329.58ドルで、5回の1, 000ドルの支払いを行うのに十分であることを示しています。

画像：Julie Bang©Investopedia 2019

これは適用可能な式です：

。。。 $\begin{matrix} {PV}_{普通年金} = C \times \end{matrix} \ begin {aligned}&\ text {PV} _ { text {Ordinary〜Annuity}} = \ text {C} times \ left \\ \ end {aligned}$ PV通常年金保険= C×

上記と同じ数値を方程式に代入すると、結果は次のようになります。

。。。 $\begin{matrix} {PV}_{普通年金} & = $ 1 、 000 \times \\ = $ 1 、 000 \times 4 。 33 \\ = $ 4 、 329 。 48 \end{matrix} \ begin {aligned} text {PV} _ { text {Ordinary〜Annuity}}&= \ $ 1, 000 \ times \ left \\&= \ $ 1, 000 \ times 4.33 \\&= \ $ 4, 329.48 \\ \ end {aligned}$ PVOrdinary Annuity == 1, 000ドル×= 1, 000ドル×4.33 = 4, 329.48ドル

年金の将来価値の計算

年金は通常の年金と異なり、年金の支払いは各期間の最後ではなく最初に行われます：

画像：Julie Bang©Investopedia 2019

各期間の初めに発生する支払いを考慮するには、以下に示すように、通常の年金の将来価値を計算するために使用される式をわずかに変更する必要があります。

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値が高いのは、期間の初めに行われた支払いに利子を稼ぐ時間が長いためです。たとえば、$ 1, 000が1月31日ではなく1月1日に投資された場合、さらに1か月成長することになります。

年金の将来価値の計算式は次のとおりです。

。。。 $\begin{matrix} {F V}_{年金} & = C \times \times （ 1 + 私） \end{matrix} \ begin {aligned} text {FV} _ { text {Annuity Due}}&= \ text {C} times \ left \ times（1 + i）\\ \ end {aligned}$ FVAnnuity Due = C××（1 + i）

または、前の例と同じ番号を使用します。

。。。 $\begin{matrix} {F V}_{年金} & = $ 1 、 000 \times \times （ 1 + 0 。 05 ） \\ = $ 1 、 000 \times 5 。 53 \times 1 。 05 \\ = $ 5 、 801 。 91 \end{matrix} \ begin {aligned} text {FV} _ { text {Annuity Due}}&= \ $ 1, 000 \ times \ left \ times（1 + 0.05）\\&= \ $ 1, 000 \ times 5.53 \ times 1.05 \\&= \ $ 5, 801.91 \\ \ end {aligned}$ FVA年金保険金= 1, 000ドル××（1 + 0.05）= 1, 000ドル×5.53×1.05 = 5, 801.91ドル

満期年金の現在価値の計算

同様に、年金の現在価値を計算するための式は、各期間の終わりではなく最初に支払が行われるという事実を考慮しています。

たとえば、この式を使用して、リースで指定された将来の家賃支払いの現在価値を計算できます。家賃として月額1, 000ドルを支払うとします。 5％の利子を得るアカウントにお金を預けたと仮定すると、現在価値の観点から次の5か月にかかる費用は次のとおりです。

これは、年金の現在価値を計算するための式です。

。。。 $\begin{matrix} {PV}_{年金} = C \times \times （ 1 + 私） \end{matrix} \ begin {aligned} text {PV} _ { text {Annuity Due}} = \ text {C} times \ left \ times（1 + i）\\ \ end {aligned}$ PVAnnuity Due = C××（1 + i）

したがって、この例では：

。。。 $\begin{matrix} {PV}_{年金} & = $ 1 、 000 \times \times （ 1 + 0 。 05 ） \\ = $ 1 、 000 \times 4 。 33 \times 1 。 05 \\ = $ 4 、 545 。 95 \end{matrix} \ begin {aligned} text {PV} _ { text {Annuity Due}}&= \ $ 1, 000 \ times \ left \ times（1 + 0.05）\\&= \ $ 1, 000 \ times 4.33 \ times1.05 \\& = \ $ 4, 545.95 \\ \ end {aligned}$ PVAnnuity Due = 1, 000ドル××（1 + 0.05）= 1, 000ドル×4.33×1.05 = 4, 545.95ドル