金融の世界では、ブラック・ショールズと二項オプションの評価モデルは、現代の金融理論における最も重要な概念の2つです。 どちらもオプションを評価するために使用され、それぞれに長所と短所があります。
二項モデルを使用する基本的な利点は次のとおりです。
- 確率を組み込む複数期間のビュー
、Black-Scholesモデルの代わりに二項モデルを使用する利点を探り、モデルを開発して使用方法を説明するための基本的な手順をいくつか示します。
複数期間ビュー
二項モデルは、基礎となる資産価格とオプションの価格の多期間ビューを提供します。 入力に基づいて数値結果を提供するBlack-Scholesモデルとは対照的に、二項モデルは、各期間の可能な結果の範囲とともに、複数の期間の資産とオプションの計算を可能にします（以下を参照）。
この複数期間ビューの利点は、ユーザーが期間ごとの資産価格の変化を視覚化し、さまざまな時点で行われた決定に基づいてオプションを評価できることです。 有効期限の前にいつでも行使できる米国ベースのオプションの場合、二項モデルは、オプションの行使が推奨される時期と、より長い期間保有される時期に関する洞察を提供できます。 値の二項ツリーを見ることで、トレーダーは、エクササイズの決定がいつ起こるかを事前に決定できます。 オプションの値が正の場合、行使の可能性がありますが、オプションの値がゼロ未満の場合は、より長い期間保持する必要があります。
透明性
複数期間のレビューに密接に関連するのは、二項モデルの能力であり、時間の経過とともに資産とオプションの基礎となる価値に対する透明性を提供します。 Black-Scholesモデルには5つの入力があります。
- リスクフリー率行使価格資産の現在価格満期までの時間資産価格のインプライドボラティリティ
これらのデータポイントがブラックショールズモデルに入力されると、モデルはオプションの値を計算しますが、これらの要因の影響は期間ごとに明らかになりません。 二項モデルを使用すると、トレーダーは期間ごとの基礎となる資産価格の変化と、オプション価格の対応する変化を見ることができます。
確率の組み込み
二項オプションモデルを計算する基本的な方法は、オプションが期限切れになるまで、成功と失敗の各期間で同じ確率を使用することです。 ただし、トレーダーは、時間の経過とともに取得される新しい情報に基づいて、期間ごとに異なる確率を組み込むことができます。
たとえば、原資産価格が1期間で30％増減する可能性が50/50ある場合があります。 ただし、第2期については、原資産価格が上昇する確率は70/30に上昇する可能性があります。 たとえば、投資家が油井を評価している場合、その投資家はその油井の価値がわからないが、価格が上がる可能性は50/50あります。 期間1で原油価格が上昇し、原油の価値が高くなり、市場のファンダメンタルズが原油価格の継続的な上昇を示すようになった場合、価格のさらなる上昇の可能性は70％になる可能性があります。 二項モデルはこの柔軟性を可能にします。 Black-Scholesモデルにはありません。
モデルの開発
最も単純な二項モデルには、確率が合計100％になる2つの期待リターンがあります。 この例では、各時点で油井に2つの可能な結果があります。 より複雑なバージョンでは、3つ以上の異なる結果があり、それぞれに発生確率が与えられます。
タイムゼロ（現在）から始まる期間ごとのリターンを計算するには、今から1期間後に原資産の価値を決定する必要があります。 この例では、次のことを想定しています。
- 原資産の価格（P）：$ 500コールオプションの行使価格（K）：$ 600期間のリスクフリー率：1％各期間の価格変更：30％上下
原資産の価格は500ドルで、期間1では、650ドルまたは350ドルの価値があります。 これは、1期間で30％の増加または減少に相当します。 保有しているコールオプションの行使価格は600ドルであるため、原資産が最終的に600ドル未満になると、コールオプションの値はゼロになります。 一方、原資産が行使価格600ドルを超える場合、コールオプションの価値は、原資産の価格と行使価格の差になります。 この計算の式はです。
。。。 maxwhere：P =原資産の価格K =コールオプション行使価格
50％の確率で上昇し、50％の確率で下降すると仮定します。 例として期間1の値を使用すると、これは次のように計算されます。
。。。 max ∗ 0.5 + max ∗ 0.5 = $ 50 ∗ 0.5 + $ 0 = $ 25
コールオプションの現在の値を取得するには、期間1の$ 25を期間0に戻す必要があります。
。。。 $ 25 /（1 + 1％）= $ 24.75
これで、確率が変更された場合、原資産の期待値も変更されることがわかります。 確率を変更する必要がある場合、後続の期間ごとに確率を変更することができ、必ずしも全体を通して同じである必要はありません。
二項モデルは、複数の期間に簡単に拡張できます。 Black-Scholesモデルは有効期限の延長の結果を計算できますが、二項モデルは決定ポイントを複数の期間に拡張します。
二項モデルの使用
オプションの価値を計算する方法としての使用に加えて、二項モデルは、高度な不確実性を伴うプロジェクトまたは投資、資本予算およびリソース割り当ての決定、および複数の期間または特定の時点でプロジェクトを続行または中止する埋め込みオプション。
1つの簡単な例は、石油掘削を伴うプロジェクトです。 このタイプのプロジェクトの不確実性は、掘削中の土地に石油が含まれているかどうか、掘削できる石油の量、石油が見つかった場合、抽出された石油を販売できる価格です。
二項オプションモデルは、石油掘削プロジェクトの各ポイントで意思決定を支援することができます。 たとえば、掘削することを決めたが、十分な量のオイルが見つかり、オイルの価格が特定の金額を超えた場合にのみ、オイルウェルが利益を上げると仮定します。 その時点での石油の価格と同様に、どのくらいの量の石油を抽出できるかを決定するには、1期間がかかります。 最初の期間（たとえば、1年）の後、これらの2つのデータポイントに基づいて、プロジェクトのドリルを続けるか、プロジェクトを放棄するかを決定できます。 これらの決定は、掘削する価値のないポイントに到達するまで継続的に行うことができ、その時点で井戸は放棄されます。
ボトムライン
二項モデルは、複数の期間の基礎となる資産価格とオプションの価格、および各期間の可能な結果の範囲の複数期間ビューを許可することにより、より詳細なビューを提供します。 Black-Scholesモデルと二項モデルの両方を使用してオプションを評価できますが、二項モデルはより幅広い用途を持ち、より直感的で使いやすいです。
