二項オプション価格設定モデルを理解する

株価の決定

取引可能な資産の正確な価格設定に同意することは困難です。そのため、株価は常に変化します。実際には、企業は日々の評価をほとんど変えませんが、株価と評価はほぼ毎秒変化します。取引可能な資産の正しい価格設定に関するコンセンサスに達することのこの困難は、短命の裁定機会につながります。

しかし、多くの成功した投資は、現在の評価という単純な問題に要約されます。将来の見返りに対する今日の適切な現在価格はいくらですか？

二項オプションの評価

競争の激しい市場では、裁定取引の機会を避けるため、同一のペイオフ構造を持つ資産は同じ価格でなければなりません。オプションの評価は困難な作業であり、価格の変動は裁定取引の機会につながります。 Black-Scholesは価格設定オプションに使用される最も人気のあるモデルの1つですが、制限があります。

二項オプション価格設定モデルは、価格設定オプションに使用されるもう1つの一般的な方法です。

例

現在の市場価格が100ドルの特定の株式にコールオプションがあると仮定します。 at-the-money（ATM）オプションの行使価格は100ドルで、1年間の有効期限があります。 2人のトレーダー、PeterとPaulaがいます。両者は、株価が1年で110ドルに上昇するか、90ドルに低下することに同意しています。

彼らは1年間の所定の時間枠で予想される価格レベルに同意しますが、上昇または下降の可能性には同意しません。ピーターは、株価が110ドルになる確率は60％であると考えていますが、ポーラは40％であると考えています。

それに基づいて、誰が通話オプションにもっと多くの価格を支払う気があるでしょうか？おそらく、ピーターは、上昇の可能性が高いと予想しています。

二項オプションの計算

評価が依存する2つの資産は、コールオプションと原資産です。参加者の間には、基礎となる株価が現在の100ドルから1年で110ドルまたは90ドルに移動することができ、他の価格の移動は不可能であるという合意があります。

アービトラージのない世界では、これらの2つの資産で構成されるポートフォリオを作成する必要がある場合、コールオプションと原株を使用して、原価格がどこに行くか（110ドルまたは90ドル）にかかわらず、ポートフォリオの純利益は常に同じままになります。。このポートフォリオを作成するために、基礎となるショートコールオプションの「d」株を購入するとします。

価格が110ドルになった場合、あなたの株式は110ドル* dの価値があり、ショートコールのペイオフで10ドルを失います。ポートフォリオの正味価値は（110d-10）になります。

価格が90ドルに下がった場合、あなたの株式は90ドル* dの価値があり、オプションは無期限に期限切れになります。ポートフォリオの正味価値は（90d）になります。

。。。 $\begin{matrix} h （ d ） - m = l （ d ） \\ どこ： \\ h = 最も高い潜在的原価格 \\ d = 基礎株式数 \\ m = ショートコールのペイオフで失われたお金 \\ l = 最低潜在価格 \end{matrix} \ begin {aligned}&h（d）-m = l（d）\\&\ textbf {where：} \&h = \ text {潜在的な最高潜在価格} \&d = \ text {潜在株式数} \&m = \ text {ショートコールのペイオフでお金を失った} \&l = \ text {潜在的な最低潜在価格} \ \ end {aligned}$ h（d）−m = l（d）ここで、h =潜在的な潜在的な最高価格d =基礎となる株式数m =ショートコールで失われたお金payoffl =潜在的な潜在的な最低価格

そのため、半株を購入する場合、分割購入が可能であると仮定して、1年間の所定の時間枠内で両方の可能な状態で値が同じになるようにポートフォリオを作成することができます。

。。。 $\begin{matrix} 110 d - 10 = 90 d \\ d = \frac{1}{2} \end{matrix} \ begin {aligned}&110d-10 = 90d \\&d = \ frac {1} {2} \ \ end {aligned}$ 110d-10 = 90dd = 21

（90d）または（110d-10）= 45で示されるこのポートフォリオ値は、1年先です。現在価値を計算するために、リスクのない収益率（5％と仮定）で割り引くことができます。

。。。 $\begin{matrix} 現在価値 & = 90 d \times e^{（ - 5 ％ \times 1 年）} \\ = 45 \times 0 。 9523 \\ = 42 。 85 \end{matrix} \ begin {aligned} text {現在の値}&= 90d \ times e ^ {（-5 \％\ times 1 \ text {Year}）} \&= 45 \ times 0.9523 \\&= 42.85 \\ \ end {aligned}$ 現在価値= 90d×e（−5％×1年）= 45×0.9523 = 42.85

現時点では、ポートフォリオは基礎となる株式の半分のシェア（市場価格100ドル）と1回のショートコールで構成されているため、現在価値と等しくなるはずです。

。。。 $\begin{matrix} \frac{1}{2} \times 100 - 1 \times 通話料金 = $ 42 。 85 \\ 通話料金 = $ 7 。 14 、つまり今日の通話価格 \end{matrix} \ begin {aligned}&\ frac {1} {2} times 100-1 \ times \ text {Call Price} = \ $ 42.85 \\&\ text {Call Price} = \ $ 7.14 \ text {、つまり通話価格今日の} \ \ end {aligned}$ 21×100-1×通話料金= 42.85ドル通話料金= 7.14ドル、つまり今日の通話料金

これは、基礎となる価格がどちらに向かうかに関係なくポートフォリオの価値が同じままであるという仮定に基づいているため、上昇または下降の確率は何の役割も果たしません。ポートフォリオは、基礎となる価格変動に関係なく、リスクフリーのままです。

両方の場合（110ドルまでの上昇と90ドルまでの下降を想定）、ポートフォリオはリスクに対して中立であり、リスクのない収益率を獲得します。

したがって、トレーダーであるピーターとポーラの両方は、上昇の確率（60％と40％）の認識が異なるにもかかわらず、このコールオプションに対して同じ7.14ドルを支払うことをいとわないでしょう。個々に認識される確率は、オプションの評価には関係ありません。

代わりに、個々の確率が重要であると仮定すると、裁定取引の機会が現れた可能性があります。現実の世界では、このような裁定取引の機会はわずかな価格差で存在し、短期的には消滅します。

しかし、オプション価格に影響を与える重要で敏感な要因である、これらすべての計算で非常に誇張されたボラティリティはどこにありますか？

ボラティリティは、問題の定義の性質にすでに含まれています。価格レベルの状態が2つ（2つだけ-「二項」という名前）であると仮定すると（110ドルと90ドル）、この仮定ではボラティリティが暗黙的であり、自動的に含まれます（この例では10％）。

ブラックショールズ

しかし、このアプローチは正しく使用され、一般的に使用されるBlack-Scholesの価格設定と一致していますか？オプション計算機の結果（OIC提供）は計算値とほぼ一致します。

残念ながら、現実の世界は「たった2つの州」ほど単純ではありません。在庫は期限切れになる前にいくつかの価格レベルに達する可能性があります。

これらの複数のレベルをすべて、2つのレベルのみに制限されている二項価格設定モデルに含めることは可能ですか？はい、それは非常に可能ですが、それを理解するには簡単な数学が必要です。

簡単な数学

この問題と解決策を一般化するには：

「X」は株式の現在の市場価格であり、「X * u」と「X * d」は「t」年後の上下の動きの将来の価格です。係数「u」は上方向への移動を示し、「d」はゼロと1の間にあるため、1より大きくなります。上記の例では、u = 1.1およびd = 0.9です。

コールオプションのペイオフは、満了時の上下移動に対する「P _up 」および「P _dn 」です。

。。。 $\begin{matrix} VUM = s \times バツ \times あなたは - P_{アップ} \\ どこ： \\ VUM = 上昇の場合のポートフォリオの価値 \end{matrix} \ begin {aligned}&\ text {VUM} = s \ times X \ times u-P_ \ text {up} \&\ textbf {where：} \&\ text {VUM} = \ text {ポートフォリオの値上に移動した場合} \ \ end {aligned}$ VUM = s×X×u-Pupwhere：VUM =上昇の場合のポートフォリオの値

。。。 $\begin{matrix} VDM = s \times バツ \times d - P_{ダウン} \\ どこ： \\ VDM = 下降の場合のポートフォリオの価値 \end{matrix} \ begin {aligned}&\ text {VDM} = s \ times X \ times d-P_ \ text {down} \&\ textbf {where：} \&\ text {VDM} = \ text {ポートフォリオの値下に移動した場合} \ \ end {aligned}$ VDM = s×X×d-Pdown where：VDM =下降の場合のポートフォリオの値

価格移動のどちらの場合でも同様の評価の場合：

。。。 $s \times バツ \times あなたは - P_{アップ} = s \times バツ \times d - P_{ダウン} s \ times X \ times u-P_ \ text {up} = s \ times X \ times d-P_ \ text {down}$ s×X×u-Pup = s×X×d-Pdown

。。。 $\begin{matrix} s & = \frac{P_{アップ} - P_{ダウン}}{バツ \times （あなたは - d ）} \\ = 購入する株式の数 \\ リスクのないポートフォリオ \end{matrix} \ begin {aligned} s&= \ frac {P_ \ text {up}-P_ \ text {down}} {X \ times（u-d）} \&= \ text {購入する株式数} \&\ phantom {=} text {リスクのないポートフォリオ} \ \ end {aligned}$ s = X×（u−d）Pup −Pdown =購入する株式数=リスクフリーポートフォリオ

「t」年の終わりのポートフォリオの将来価値は次のようになります。

。。。 $\begin{matrix} アップムーブの場合 & = s \times バツ \times あなたは - P_{アップ} \\ = \frac{P_{アップ} - P_{ダウン}}{あなたは - d} \times あなたは - P_{アップ} \end{matrix} \ begin {aligned} text {Up Moveの場合}&= s \ times X \ times u-P_ \ text {up} \&= \ frac {P_ \ text {up}-P_ \ text {down} } {u-d} times u-P_ \ text {up} \ \ end {aligned}$ 上に移動する場合= s×X×u-Pup = u-dPup -Pdown×u-Pup

。。。 $\begin{matrix} 下に移動した場合 & = s \times バツ \times d - P_{ダウン} \\ = \frac{P_{アップ} - P_{ダウン}}{あなたは - d} \times d - P_{ダウン} \end{matrix} \ begin {aligned} text {下への移動の場合}&= s \ times X \ times d-P_ \ text {down} \&= \ frac {P_ \ text {up}-P_ \ text {down} } {u-d} times d-P_ \ text {down} \ \ end {aligned}$ 下への移動の場合= s×X×d-Pdown = u-dPup -Pdown×d-Pdown

現在の値は、リスクのない収益率で割引くことにより取得できます。

。。。 $\begin{matrix} PV = e （ - r t ） \times \\ どこ： \\ PV = 現在の価値 \\ r = 利益率 \\ t = 時間、年 \end{matrix} \ begin {aligned}&\ text {PV} = e（-rt）\ times \ left \\&\ textbf {where：} \&\ text {PV} = \ text {Present-Day Value} \&r = \ text {収益率} \&t = \ text {時間、年} \ \ end {aligned}$ PV = e（−rt）×where：PV =現在の評価者=返品率=時間、年単位

これは、X価格での「s」株式のポートフォリオ保有と一致する必要があり、ショートコール値「c」（（s * X-c）の現在保有はこの計算と同等です。）「c」の解決は最終的にそれを与えますなので：

注：コールプレミアムがショートした場合、それは減算ではなく、ポートフォリオへの追加である必要があります。

。。。 $c = \frac{e （ - r t ）}{あなたは - d} \times c = \ frac {e（-rt）} {u-d} times$ c = u−de（−rt）×

方程式を記述する別の方法は、再配置することです。

「q」を次のように取ります：

。。。 $q = \frac{e （ - r t ） - d}{あなたは - d} q = \ frac {e（-rt）-d} {u-d}$ q = u-de（-rt）-d

次に、方程式は

。。。 $c = e （ - r t ） \times （ q \times P_{アップ} + （ 1 - q ） \times P_{ダウン} ） c = e（-rt）\ times（q \ times P_ \ text {up} +（1-q）\ times P_ \ text {down}）$ c = e（−rt）×（q×Pup +（1−q）×Pdown）

「q」の観点から方程式を再配置することにより、新しい視点が提供されました。

これで、「q」は基礎を上に移動する確率として解釈できます（「q」はP _upに関連付け_られ、「1-q」はP _dnに関連付けられているため）。全体的に、方程式は現在のオプション価格、満期時のペイオフの割引価値を表します。

この「Q」は違います

この確率「q」は、原資産の上昇または下降の確率とどのように異なりますか？

。。。 $\begin{matrix} VSP = q \times バツ \times あなたは + （ 1 - q ） \times バツ \times d \\ どこ： \\ VSP = 株価の時価 t \end{matrix} \ begin {aligned}&\ text {VSP} = q \ times X \ times u +（1-q）\ times X \ times d \\&\ textbf {where：} \&\ text {VSP} = \テキスト{時刻の株価} t \\ \ end {aligned}$ VSP = q×X×u +（1-q）×X×dwhere：VSP =時刻tの株価

「q」の値を置き換えて並べ替えると、時刻「t」での株価は次のようになります。

。。。 $\begin{matrix} 株価 = e （ r t ） \times バツ \end{matrix} \ begin {aligned}&\ text {Stock Price} = e（rt）\ times X \\ \ end {aligned}$ 株価= e（rt）×X

この2つの状態の想定された世界では、株価は、リスクのない資産とまったく同じように、リスクのない収益率で単純に上昇するため、リスクに依存しません。投資家はこのモデルの下でリスクに無関心なので、これはリスク中立モデルを構成します。

確率「q」および「（1-q）」はリスク中立確率として知られており、評価方法はリスク中立評価モデルとして知られています。

サンプルシナリオには1つの重要な要件があります-将来のペイオフ構造が正確に必要です（レベル$ 110および$ 90）。実際には、ステップベースの価格レベルについてのこのような明確さは不可能です。むしろ、価格はランダムに変動し、複数のレベルで安定する場合があります。

この例をさらに拡張するために、2段階の価格レベルが可能であると仮定します。 2番目のステップの最終ペイオフがわかっているため、今日（最初のステップで）オプションを評価する必要があります。

後戻りすると、中間の最初のステップ評価（t = 1）は、ステップ2（t = 2）での最終ペイオフを使用して、次にこれらの計算された最初のステップ評価（t = 1）、現在の評価（t = 0）これらの計算で到達できます。

2番目のオプション価格を取得するには、4および5のペイオフが使用されます。 3番目の価格を取得するには、5と6のペイオフが使用されます。最後に、2と3で計算されたペイオフを使用して、1番目の価格を取得します。

この例では、両方のステップで上（および下）の動きに同じ係数を想定していることに注意してください。uとdは複合的に適用されます。

作業例

行使価格が110ドルのプットオプションが現在100ドルで取引されており、1年で期限が切れると仮定します。年間のリスクフリー率は5％です。価格は6か月ごとに20％上昇し、15％低下するものと予想されます。

ここで、u = 1.2およびd = 0.85、x = 100、t = 0.5

上記の派生式を使用して

。。。 $q = \frac{e （ - r t ） - d}{あなたは - d} q = \ frac {e（-rt）-d} {u-d}$ q = u-de（-rt）-d

q = 0.35802832を取得します

ポイント2のプットオプションの値

。。。 $\begin{matrix} p_{2} = e （ - r t ） \times （ p \times P_{アップアップ} + （ 1 - q ） P_{updn} ） \\ どこ： \\ p = プットオプションの価格 \end{matrix} \ begin {aligned}&p_2 = e（-rt）\ times（p \ times P_ \ text {upup} +（1-q）P_ \ text {updn}）\\&\ textbf {where：} \&p = \ text {putオプションの価格} \ \ end {aligned}$ p2 = e（−rt）×（p×Pupup +（1-q）Pupdn）ここで：p =プットオプションの価格

P _upup条件では、基礎となる= 100 * 1.2 * 1.2 = 144ドルで、P _upup = 0になります

P _updn条件では、基になる= 100 * 1.2 * 0.85 = 102ドルで、P _updn = 8ドルになります

P _dndn条件では、基礎となる= 100 * 0.85 * 0.85 = $ 72.25からP _dndn = $ 37.75になります

p ₂ = 0.975309912 *（0.35802832 * 0 +（1-0.35802832）* 8）= 5.008970741

同様に、p ₃ = 0.975309912 *（0.35802832 * 8 +（1-0.35802832）* 37.75）= 26.42958924

。。。 $p_{1} = e （ - r t ） \times （ q \times p_{2} + （ 1 - q ） p_{3} ） p_1 = e（-rt）\ times（q \ times p_2 +（1-q）p_3）$ p1 = e（−rt）×（q×p2 +（1-q）p3）

したがって、プットオプションの値、p ₁ = 0.975309912 *（0.35802832 * 5.008970741 +（1-0.35802832）* 26.42958924）= 18.29ドル。

同様に、二項モデルを使用すると、オプション期間全体を中断して、複数のステップとレベルをさらに洗練させることができます。コンピュータープログラムまたはスプレッドシートを使用して、一度に1ステップずつ後退し、目的のオプションの現在の値を取得できます。

もう一つの例

有効期限が9か月、行使価格が12ドル、現在の原価格が10ドルである欧州タイプのプットオプションを想定します。すべての期間で5％のリスクフリー率を想定します。 3か月ごとに、基礎となる価格が20％上下に移動し、u = 1.2、d = 0.8、t = 0.25、および3段階の二項ツリーが得られると仮定します。

赤は原価格を示し、青はプットオプションのペイオフを示します。

リスク中立確率「q」は0.531446に計算されます。

上記の「q」の値とt = 9か月でのペイオフ値を使用して、t = 6か月での対応する値は次のように計算されます。

さらに、これらの計算値をt = 6で使用すると、t = 3で、t = 0での値は次のようになります。

これにより、プットオプションの現在の値は2.18ドルとなり、ブラックショールズモデルを使用した計算を実行した場合にほぼ近い（2.30ドル）。

ボトムライン

コンピュータープログラムを使用すると、これらの集中的な計算が簡単になりますが、将来の価格の予測は、オプション価格設定の二項モデルの主要な制限のままです。時間間隔が細かいほど、各期間の終わりに高いレベルの精度でペイオフを予測することが難しくなります。

ただし、さまざまな期間に予想される変更を取り入れる柔軟性はプラスであり、これにより早期行使評価を含むアメリカのオプションの価格設定に適しています。

二項モデルを使用して計算される値は、オプション価格設定のための二項モデルの有用性と精度を示すブラックショールズのような他の一般的に使用されるモデルから計算される値とほぼ一致します。二項価格設定モデルは、トレーダーの好みに応じて開発でき、Black-Scholesの代替として機能します。

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