カール・フリードリヒ・ガウスは子供の天才であり、1800年代初期に住んでいた素晴らしい数学者でした。 ガウスの貢献には、二次方程式、最小二乗分析、および正規分布が含まれます。 正規分布は、1700年代半ばにはアブラハムデモイブレの著作から知られていましたが、ガウスはしばしば発見の功績が認められ、正規分布はガウス分布と呼ばれます。 統計の研究の多くはガウスに由来し、彼のモデルは金融市場、価格、および確率などに適用されます。
現代の用語では、正規分布を、平均と分散のパラメーターを持つベル曲線として定義しています。 この記事では、ベル曲線を説明し、それを取引に適用します。
測定センター：平均、中央値、モード
分布は、平均、中央値、モードによって特徴付けられます。 平均は、すべてのスコアを加算し、スコアの数で割ることによって得られます。 中央値は、順序付けされたサンプルの2つの中間値を加算して2で除算するか（偶数のデータ値の場合）、単に中間値を取る（奇数のデータ値の場合）ことによって取得されます。 モードは、値の分布の中で最も頻度の高い数値です。 これらの3つの数値はそれぞれ、分布の中心を測定します。 ただし、正規分布の場合、平均が優先測定です。
分散の測定：標準偏差と分散
値が正規（ガウス）分布に従う場合、すべてのスコアの68％が（平均の）-1および+1標準偏差内に収まり、95％が2つの標準偏差内に収まり、99.7％が3つの標準偏差内に収まります。
標準偏差は分散の平方根であり、分布の広がりを測定します。 （統計分析の詳細については、 「ボラティリティ測定 値について」をご覧ください。）
ガウスモデルの取引への適用
標準偏差はボラティリティを測定し、期待されるリターンのパフォーマンスを決定します。 標準偏差が小さいほど投資のリスクが低くなり、標準偏差が大きいほどリスクが高くなります。 トレーダーは終値を平均との差として測定できます。 実際の値と平均値の差が大きいほど、標準偏差が大きくなり、したがってボラティリティが高くなることを示唆しています。
平均から大きく外れた価格は平均に戻り、トレーダーがこれらの状況を利用できるようになり、狭い範囲で取引される価格はブレイクアウトの準備が整うかもしれません。 標準偏差取引でよく使用されるテクニカルインジケーターは、ボリンジャーバンド®です。これは、21日間の移動平均で上下のバンドの2つの標準偏差に設定されたボラティリティの指標であるためです。
ガウス分布は、市場確率の理解の始まりを示しました。 その後、時系列、Garchモデル、およびボラティリティスマイルなどのスキューのアプリケーションが追加されました。
スキューと尖度
データは通常、正規分布の正確な釣鐘曲線パターンに従いません。 歪度と尖度は、データがこの理想的なパターンからどのように逸脱するかの尺度です。 歪度は、分布の裾の非対称性を測定します。正の歪度は、低側よりも平均の高側でさらに逸脱するデータを持ちます。 負のスキューの場合は逆です。 （関連資料については、 株式市場リスク：尾を振るを 参照してください。）
歪度は尾の不均衡に関連しますが、尖度は尾が平均を上回るか下回るかに関係なく、尾の先端に関係します。 レプトクルティック分布には正の過剰尖度があり、正規分布で予測されるよりも極端なデータ値（いずれかのテール）があります（たとえば、平均値から5つ以上の標準偏差）。 プラチクルトーシスと呼ばれる負の過剰尖度は、正規分布より極端ではない極値特性を持つ分布によって特徴付けられます。
歪度と尖度の適用として、債券の分析では、金利が変動する場合にポートフォリオのボラティリティを決定するために慎重な統計分析が必要です。 動きの方向を予測するモデルは、歪度と尖度を考慮して債券ポートフォリオのパフォーマンスを予測する必要があります。 これらの統計概念をさらに適用して、株式、オプション、通貨ペアなど、他の多くの金融商品の価格変動を判断できます。 スキュー係数は、インプライドボラティリティを測定することによりオプション価格を測定するために使用されます。
