目次
- 二項オプションの価格
- 二項価格の基本
- 二項モデルを使用した計算
- 実世界の例
二項オプション価格設定モデルとは何ですか？
二項オプション価格設定モデルは、1979年に開発されたオプション評価方法です。二項オプション価格設定モデルは、反復手順を使用して、評価日とオプションの有効期限の間の期間にノードまたは時点を指定できます。
重要なポイント
- 二項オプション価格設定モデルは、複数の期間を利用してアメリカのオプションを評価する反復アプローチを使用してオプションを評価します。モデルでは、各反復で2つの可能な結果があります。よく知られているBlack-Scholesモデルよりも実際に頻繁に使用されます。
このモデルは、価格変更の可能性を減らし、裁定取引の可能性を排除します。 二項ツリーの簡単な例は次のようになります。
二項オプション価格設定モデルの基礎
二項オプション価格モデルでは、2つの可能な結果、つまりモデルの二項部分があるという仮定があります。 価格設定モデルでは、2つの結果は上昇または下降です。 二項オプション価格設定モデルの主な利点は、数学的に単純であることです。 しかし、これらのモデルは、複数期間モデルでは複雑になる可能性があります。
入力に基づいて数値結果を提供するBlack-Scholesモデルとは対照的に、二項モデルは、各期間の可能な結果の範囲とともに、複数の期間の資産とオプションの計算を可能にします（以下を参照）。
この複数期間ビューの利点は、ユーザーが期間ごとの資産価格の変化を視覚化し、さまざまな時点で行われた決定に基づいてオプションを評価できることです。 有効期限の前にいつでも行使できる米国ベースのオプションの場合、二項モデルは、オプションの行使が推奨される時期と、より長い期間保有される時期に関する洞察を提供できます。 値の二項ツリーを見ることで、トレーダーは、エクササイズの決定がいつ起こるかを事前に決定できます。 オプションの値が正の場合、行使の可能性がありますが、オプションの値がゼロ未満の場合は、より長い期間保持する必要があります。
二項モデルを使用した価格の計算
二項オプションモデルを計算する基本的な方法は、オプションが期限切れになるまで、成功と失敗の各期間で同じ確率を使用することです。 ただし、トレーダーは、時間の経過とともに取得される新しい情報に基づいて、期間ごとに異なる確率を組み込むことができます。
二項ツリーは、アメリカのオプションと組み込みオプションの価格を決定するときに便利なツールです。 そのシンプルさは、同時にその長所と短所です。 ツリーは機械的に簡単にモデル化できますが、問題は、基礎となる資産が1つの期間内に取り得る値にあります。 二項ツリーモデルでは、基になる資産は2つの可能な値のうちの1つだけの価値がありますが、これは現実的ではありません。
たとえば、原資産価格が1期間で30％増減する可能性が50/50ある場合があります。 ただし、第2期については、原資産価格が上昇する確率は70/30に上昇する可能性があります。
たとえば、投資家が油井を評価している場合、その投資家はその油井の価値がわからないが、価格が上がる可能性は50/50あります。 期間1で原油価格が上昇し、原油の価値が高くなり、市場のファンダメンタルズが原油価格の継続的な上昇を示すようになった場合、価格のさらなる上昇の可能性は70％になる可能性があります。 二項モデルはこの柔軟性を可能にします。 Black-Scholesモデルにはありません。
二項オプション価格設定モデルの実例
二項ツリーの単純化された例には、1つのステップしかありません。 1株あたり100ドルの価格の株式があると仮定します。 1か月で、この株の価格は10ドル上がるか、10ドル下がるため、この状況が発生します。
- 株価 = 100ドル1か月の株価（アップ状態） = 110ドル1か月の株価（ダウン状態） = 90ドル
次に、1か月で期限が切れ、行使価格が100ドルのコールオプションがこの株式で利用できると仮定します。 アップ状態では、このコールオプションは10ドルの価値があり、ダウン状態では0ドルの価値があります。 二項モデルは、今日のコールオプションの価格を計算できます。
単純化のため、投資家が株式の半分を購入し、1つのコールオプションを作成または販売すると仮定します。 今日の総投資額は、半額の価格からオプションの価格を差し引いたものであり、月末の見返りは次のとおりです。
- 今日のコスト = 50ドル-オプション価格ポートフォリオ値 （アップ状態）= 55ドル-最大（110ドル-100ドル、0）= 45ドルポートフォリオ値 （ダウン状態）= 45ドル-最大（90ドル-100ドル、0）= 45ドル
ポートフォリオのペイオフは、株価がどのように変化しても等しくなります。 アービトラージの機会がないと仮定すると、この結果を考えると、投資家はその月の間にリスクのないレートを獲得する必要があります。 今日のコストは、1か月間、リスクのないレートで割引かれたペイオフと等しくなければなりません。 したがって、解くべき方程式は次のとおりです。
- オプション価格 = $ 50-$ 45 xe ^（-リスクフリーレートx T）、ここでeは数学定数2.7183です。
リスクフリー率が年間3％で、Tが0.0833（1を12で割った値）に等しいと仮定すると、今日のコールオプションの価格は5.11ドルです。
単純で反復的な構造により、二項オプション価格設定モデルには特定のユニークな利点があります。 たとえば、一定期間内の各ノードのデリバティブに一連の評価を提供するため、購入日から有効期限までいつでも実行できるアメリカンオプションなどのデリバティブの評価に役立ちます。 また、Black-Scholesモデルなどの他の価格設定モデルよりもはるかに簡単です。
