お金の時間価値を理解する

おめでとう！！！賞金を獲得しました！ 2つの支払いオプションがあります。A：今すぐ$ 10, 000を受け取るか、 B： 3年間で$ 10, 000を受け取ります。どのオプションを選択しますか？

お金の時間価値とは何ですか？

もしあなたがほとんどの人と同じなら、あなたは今10, 000ドルを受け取ることを選ぶでしょう。結局のところ、3年は待つのに長い時間です。合理的な人が、同じ金額を今すぐ手に入れることができるのに、なぜ支払いを将来に先送りするのでしょうか。私たちのほとんどにとって、現在のお金をとることは、単なる本能的なものです。そのため、最も基本的なレベルでは、お金の時間的価値は、すべてのものが平等であることを示しています。後でお金を稼ぐよりも、今すぐお金を持っている方が良いようです。

しかし、これはなぜですか？ 100ドルの請求書は、1年後の100ドルの請求書と同じ価値がありますよね。実際には、法案は同じですが、お金があるともっとお金を稼ぐことができます。

例に戻ります。今日10, 000ドルを受け取ると、一定期間投資し、利子を得て、お金の将来価値を高める態勢が整います。オプションBの場合、あなたには時間がないので、3年以内に受け取った支払いがあなたの将来価値になります。説明のために、タイムラインを提供しました：

将来価値の基本

。。。 $\begin{matrix} $ 10 、 000 \times 0 。 045 = $ 450 \end{matrix} \ begin {aligned}&\ $ 10, 000 \ times 0.045 = \ $ 450 \\ \ end {aligned}$ 10, 000ドル×0.045 = 450ドル

。。。 $\begin{matrix} $ 450 + $ 10 、 000 = $ 10 、 450 \end{matrix} \ begin {aligned}&\ $ 450 + \ $ 10, 000 = \ $ 10, 450 \\ \ end {aligned}$ 450ドル+ 10, 000ドル= 10, 450ドル

上記の式を簡単に操作して、1年間の投資の合計額を計算することもできます。

。。。 $\begin{matrix} OE = （ $ 10 、 000 \times 0 。 045 ） + $ 10 、 000 = $ 10 、 450 \\ どこ： \\ OE = 元の方程式 \end{matrix} \ begin {aligned}&\ text {OE} =（\ $ 10, 000 \ times 0.045）+ \ $ 10, 000 = \ $ 10, 450 \\&\ textbf {where：} \&\ text {OE} = \ text {元の方程式} \ {{aligned}$ OE =（$ 10, 000×0.045）+ $ 10, 000 = $ 10, 450ここで、OE =元の方程式

。。。 $\begin{matrix} 操作 = $ 10 、 000 \times = $ 10 、 450 \end{matrix} \ begin {aligned}&\ text {Manipulation} = \ $ 10, 000 \ times = \ $ 10, 450 \\ \ end {aligned}$ 操作= 10, 000ドル×= 10, 450ドル

。。。 $\begin{matrix} 最終方程式 = $ 10 、 000 \times （ 0 。 045 + 1 ） = $ 10 、 450 \end{matrix} \ begin {aligned}&\ text {Final Equation} = \ $ 10, 000 \ times（0.045 + 1）= \ $ 10, 450 \\ \ end {aligned}$ 最終方程式= 10, 000ドル×（0.045 + 1）= 10, 450ドル

上記の操作された方程式は、元の方程式全体を$ 10, 000で除算することにより、同様の変数$ 10, 000（主な金額）を単純に削除したものです。

最初の年の終わりにあなたの投資口座に残った10, 450ドルが手つかずのままで、別の年に4.5％でそれを投資した場合、あなたはいくら持っていますか？これを計算するには、10, 450ドルを取得し、再度1.045（0.045 +1）を掛けます。 2年の終わりには、10, 920.25ドルになります。

将来価値の計算

したがって、上記の計算は次の式と同等です。

。。。 $\begin{matrix} 将来価値 = $ 10 、 000 \times （ 1 + 0 。 045 ） \times （ 1 + 0 。 045 ） \end{matrix} \ begin {aligned}&\ text {Future Value} = \ $ 10, 000 \ times（1 + 0.045）\ times（1 + 0.045）\\ \ end {aligned}$ 将来価値= 10, 000ドル×（1 + 0.045）×（1 + 0.045）

数学クラスと指数のルールを思い出してください。これは、同様の項の乗算は指数の加算と同等であると述べています。上記の式では、2つの同様の項は（1+ 0.045）であり、それぞれの指数は1に等しいため、式は次のように表すことができます。

。。。 $\begin{matrix} 将来価値 = $ 10 、 000 \times （ 1 + 0 。 045 ）^{2} \end{matrix} \ begin {aligned}&\ text {Future Value} = \ $ 10, 000 \ times（1 + 0.045）^ 2 \\ \ end {aligned}$ 将来価値= 10, 000ドル×（1 + 0.045）2

指数は、お金が投資で利子を得ている年数に等しいことがわかります。したがって、投資の3年間の将来価値を計算する方程式は次のようになります。

。。。 $\begin{matrix} 将来価値 = $ 10 、 000 \times （ 1 + 0 。 045 ）^{3} \end{matrix} \ begin {aligned}&\ text {Future Value} = \ $ 10, 000 \ times（1 + 0.045）^ 3 \\ \ end {aligned}$ 将来価値= 10, 000ドル×（1 + 0.045）3

ただし、1年目以降、2年目、3年目など、将来の値を計算し続ける必要はありません。いわば、すべてを一度に把握できます。投資の現在の金額、その収益率、およびその投資を保持する期間を知っている場合、その金額の将来価値（FV）を計算できます。次の方程式を使用して完了しました。

。。。 $\begin{matrix} F V = PV \times （ 1 + 私）^{n} \\ どこ： \\ F V = 将来価値 \\ PV = 現在価値（元の金額） \\ 私 = 期間ごとの金利 \\ n = 期間数 \end{matrix} \ begin {aligned}&\ text {FV} = \ text {PV} times（1 + i）^ n \\&\ textbf {where：} \&\ text {FV} = \ text {Future value} \&\ text {PV} = \ text {現在の値（元の金額）} \&i = \ text {期間あたりの利率} \&n = \ text {期間数} \ \ end {aligned }$ FV = PV×（1 + i）nwhere：FV =将来価値PV =現在価値（元の金額）i =期間あたりの利率n =期間数

現在価値の基本

将来受け取る$ 10, 000の現在価値を見つけるには、$ 10, 000が今日投資した金額の将来価値の合計であるふりをする必要があります。言い換えれば、将来の10, 000ドルの現在価値を見つけるには、1年で10, 000ドルを受け取るために今日どれだけ投資する必要があるかを知る必要があります。

現在価値、または今日投資しなければならない金額を計算するには、10, 000ドルから（仮定の）累積金利を差し引く必要があります。これを達成するために、将来の支払額（10, 000ドル）をその期間の利率で割り引くことができます。本質的に、あなたがしているのは、現在価値（PV）を解くために、上記の将来価値方程式を再配置することです。上記の将来価値方程式は、次のように書き換えることができます。

。。。 $\begin{matrix} PV = \frac{F V}{（ 1 + 私）^{n}} \end{matrix} \ begin {aligned}&\ text {PV} = \ frac { text {FV}} {（1 + i）^ n} \ \ end {aligned}$ PV =（1 + i）nFV

別の方程式は次のとおりです。

。。。 $\begin{matrix} PV = F V \times （ 1 + 私）^{- n} \\ どこ： \\ PV = 現在価値（元の金額） \\ F V = 将来価値 \\ 私 = 期間ごとの金利 \\ n = 期間数 \end{matrix} \ begin {aligned}&\ text {PV} = \ text {FV} times（1 + i）^ {-n} \&\ textbf {where：} \&\ text {PV} = \ text {現在価値（元の金額）} \&\ text {FV} = \ text {将来価値} \&i = \ text {期間あたりの利率} \&n = \ text {期間数} \ \ end {aligned}$ PV = FV×（1 + i）−nwhere：PV =現在価値（元の金額）FV =将来価値i =期間ごとの利率n =期間数

現在価値の計算

オプションBで提供される10, 000ドルから逆戻りしてみましょう。3年間で受け取る10, 000ドルは、実際には投資の将来価値と同じです。お金を得る前に1年があれば、1年前に支払いを割引します。現在の式（バージョン2）を使用すると、現在の2年の時点で、1年間に受け取る$ 10, 000の現在値は$ 10, 000 x（1 +.045） ^-1 = $ 9569.38になります。

今日が1年の水準に達した場合、上記の9, 569.38ドルが1年後の投資の将来価値と見なされることに注意してください。

続いて、最初の年の終わりに、2年間で10, 000ドルの支払いを受け取ることを期待しています。 4.5％の金利では、2年間に予想される10, 000ドルの支払いの現在価値の計算は、10, 000ドルx（1 +.045） ^-2 = 9157.30になります。

もちろん、指数の規則により、3年目の投資10, 000ドルからさかのぼって毎年投資の将来価値を計算する必要はありません。方程式をより簡潔に入れて、10, 000ドルをFVとして使用できます。したがって、ここでは、3年間の4.5％の投資から期待される$ 10, 000の今日の現在価値を計算する方法を示します。

。。。 $\begin{matrix} $ 8 、 762 。 97 = $ 10 、 000 \times （ 1 + 。 045 ）^{- 3} \end{matrix} \ begin {aligned}&\ $ 8, 762.97 = \ $ 10, 000 \ times（1 +.045）^ {-3} \ \ end {aligned}$ 8, 762.97 = $ 10, 000×（1 +.045）-3

したがって、金利が年間4.5％の場合、10, 000ドルの将来の支払いの現在価値は8, 762.97ドルになります。言い換えれば、オプションBを選択することは、今$ 8, 762.97を取得してから3年間投資するようなものです。上記の方程式は、オプションAの方がすぐにお金を提供するだけでなく、現金で$ 1, 237.03（$ 10, 000-$ 8, 762.97）を提供するため、より優れていることを示しています。さらに、オプションAから受け取る10, 000ドルを投資すると、オプションBの将来価値よりも1, 411.66ドル（11, 411.66-10, 000ドル）大きい将来価値が得られます。

将来の支払いの現在価値

私たちの申し出を控えましょう。将来の支払いがすぐに受け取る金額を超える場合はどうなりますか？たとえば、今日15, 000ドル、または4年間で18, 000ドルを受け取ることができるとします。現在、決定はより困難です。今日15, 000ドルを受け取り、全額を投資することを選択した場合、実際には4年間で18, 000ドル未満の金額の現金になる可能性があります。

決定方法 15, 000ドルの将来価値を見つけることはできますが、私たちは常に現在に住んでいるので、18, 000ドルの現在価値を見つけましょう。今回は、金利が現在4％であると仮定します。現在値の式は次のとおりです。

。。。 $\begin{matrix} PV = F V \times （ 1 + 私）^{- n} \end{matrix} \ begin {aligned}&\ text {PV} = \ text {FV} times（1 + i）^ {-n} \ \ end {aligned}$ PV = FV×（1 + i）−n

上記の方程式では、投資の将来価値を割り引くだけです。上記の数値を使用すると、4年間で18, 000ドルの支払いの現在価値は、18, 000ドルx（1 + 0.04） ^-4 = 15, 386.48ドルとして計算されます。

上記の計算から、今日の選択は15, 000ドルまたは15, 386.48ドルを選択することがわかります。もちろん、支払いを4年間延期することを選択する必要があります。

ボトムライン

これらの計算は、文字通り時間はお金であることを示しています。現在のお金の価値は、将来の価値と同じではなく、その逆も同様です。そのため、お金の時間価値を計算する方法を知っておくことが重要です。そうすれば、さまざまな時間に利益をもたらす投資の価値を区別できます。（関連資料については、「お金とドルの時間価値」を参照してください）

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