対数正規分布と正規分布

金融の背後にある数学は、少し混乱して退屈なものになります。 幸いなことに、ほとんどのコンピュータープログラムは複雑な計算を行います。 ただし、適切なセキュリティを選択し、ポートフォリオに望ましい影響を与えるには、さまざまな統計用語と方法、それらの意味、および投資を最適に分析するものを理解することが重要です。

重要な決定の1つは、正規分布と対数正規分布のどちらかを選択することです。どちらも研究文献でよく言及されています。 選択する前に、次のことを知る必要があります。

• それらが何であるかそれらの間にどのような違いが存在するか

通常対対数

統計数学では、正規分布と対数正規分布の両方を使用して、イベントが発生する確率を記述します。 コインの反転は、簡単に理解できる確率の例です。 コインを1000回裏返すと、結果の分布はどうなりますか？ つまり、頭や尾に何回着陸しますか？ 50％の確率で頭または尾に着地します。 この基本的な例では、結果の確率と分布について説明します。

分布には多くの種類があり、そのうちの1つは正規分布または釣鐘曲線分布です。

画像：Julie Bang©Investopedia 2019

正規分布では、結果の68％（34％+ 34％）が1つの標準偏差内に収まり、95％（68％+ 13.5％+ 13.5％）が2つの標準偏差内に収まります。 中央（上の画像の0点）の中央値（セットの中央の値）、モード（最も頻繁に発生する値）、および平均（算術平均）はすべて同じです。

対数正規分布は、いくつかの点で正規分布と異なります。 大きな違いはその形状にあります。正規分布は対称ですが、対数正規分布は対称ではありません。 対数正規分布の値は正であるため、右に歪んだ曲線を作成します。

画像：Julie Bang©Investopedia 2019

この歪度は、投資の意思決定に使用するのに適切な分布を決定する際に重要です。 さらに区別されるのは、対数正規分布の導出に使用される値が正規分布であることです。

例で明確にしましょう。 投資家は、予想される将来の株価を知りたいと考えています。 株は複利で成長するため、成長因子を使用する必要があります。 予想される予想価格を計算するために、彼女は現在の株価を取り、それをさまざまな収益率（複利に基づいて数学的に導出された指数因子）で乗算します。 投資家が継続的にリターンを複利するとき、彼女は対数正規分布を作成します。 収益率の一部が負の場合でも、この分布は常に正であり、正規分布では時間の50％が発生します。 株価は0ドルを下回ることはできないため、将来の株価は常にプラスになります。

正規対対数正規分布を使用する場合

上記の例は、投資家にとって本当に重要なこと、つまり各方法をいつ使用するかを見つけるのに役立ちました。 Lognormalは、株価を分析するときに非常に役立ちます。 使用される成長因子が正規分布していると仮定されている限り（収益率で仮定する場合）、対数正規分布は意味をなします。 正規分布は、マイナスの側面があり、株価がゼロを下回らないため、株価のモデル化には使用できません。

対数正規分布の別の同様の使用法は、オプションの価格設定です。 オプションの価格設定に使用されるブラックショールズモデルは、オプション価格を決定するための基礎として対数正規分布を使用します。

逆に、総ポートフォリオリターンを計算する場合は、正規分布の方がうまく機能します。 加重平均収益率（ポートフォリオ内の証券の重量と収益率の積）は実際のポートフォリオ収益率（正または負）を記述する際により正確であるため、特に重量がa大度。 以下は典型的な例です。

ポートフォリオホールディングス	重さ	戻り値	加重返品
ストックA	40％	12％	40％* 12％= 4.8％
ストックB	60％	6％	60％* 6％= 3.6％
総加重平均収益率			4.8％* 3.6％= 8.4％