モンテカルロシミュレーションをgbmで使用する方法

リスクを推定する最も一般的な方法の1つは、モンテカルロシミュレーション（MCS）の使用です。たとえば、ポートフォリオのバリューアットリスク（VaR）を計算するために、指定された期間における信頼区間を前提として、ポートフォリオの最悪の可能性のある損失を予測しようとするモンテカルロシミュレーションを実行できます（常に2つ指定する必要があります） VaRの条件：信頼度と期間）。

、金融で最も一般的なモデルの1つである幾何学的ブラウン運動（GBM）を使用して、株価に適用される基本的なMCSを確認します。したがって、モンテカルロシミュレーションはシミュレーションに対するさまざまなアプローチの世界を指すことができますが、ここでは最も基本的なものから始めます。

どこから始めれば

モンテカルロシミュレーションは、未来を何度も予測する試みです。シミュレーションの最後に、数千または数百万の「ランダムトライアル」により、分析可能な結果の分布が生成されます。基本的な手順は次のとおりです。

1.モデル（GBMなど）を指定します

この記事では、技術的にはマルコフ過程である幾何ブラウン運動（GBM）を使用します。これは、株価がランダムウォークに従い、（少なくとも）効率的な市場仮説（EMH）の弱い形式と一致していることを意味します。過去の価格情報は既に組み込まれており、次の価格変動は「条件付きで独立」価格の動き。

GBMの式は次のとおりです。

。。。 $\begin{matrix} \frac{△ S}{S} = μ △ t + σ ϵ \sqrt{△ t} \\ どこ： \\ S = 株価 \\ △ S = 株価の変化 \\ μ = 期待収益 \\ σ = リターンの標準偏差 \\ ϵ = ランダム変数 \end{matrix} \ begin {aligned}&\ frac { Delta S} {S} = \ \ mu \ Delta t \ + \ \ sigma \ epsilon \ sqrt { Delta t} \&\ textbf {where：} \&S = \ text {株価} \&\ Delta S = \ text {株価の変化} \&\ mu = \ text {期待収益率\\\\&\ sigma = \ text {標準偏差戻り値} \&\ epsilon = \ text {ランダム変数} \&\ Delta t = \ text {経過時間} end {aligned}$ SΔS= =μΔt+ σϵΔtの場合：S =株価ΔS=株価の変化μ=期待収益率σ=リターンの標準偏差ϵ =ランダム変数

株価の変化だけを解決するために数式を並べ替えると、GBMは株価の変化が株価「S」に下の括弧内にある2つの用語を掛けたものであると言うことがわかります。

。。。 $△ S = S \times （ μ △ t + σ ϵ \sqrt{△ t} ） \ Delta S \ = \ S \ \ times \（\ mu \ Delta t \ + \ \ sigma \ epsilon \ sqrt { Delta t}）$ ΔS= S×（μΔt+ σϵΔt）

最初の用語は「ドリフト」であり、2番目の用語は「ショック」です。期間ごとに、このモデルでは、期待収益によって価格が「変動」するものと想定しています。しかし、ドリフトはランダムショックによってショック（加算または減算）されます。ランダムショックは、標準偏差「s」に乱数「e」を掛けたものです。これは、単に標準偏差をスケーリングする方法です。

図1に示すように、これがGBMの本質です。株価は一連のステップに従います。各ステップは、ドリフトにプラスまたはマイナスのランダムショックを加えたものです（それ自体が株価の標準偏差の関数です）。

2.ランダムトライアルの生成

モデル仕様を準備して、ランダムトライアルの実行に進みます。説明のために、Microsoft Excelを使用して40回の試行を実行しました。これは非現実的に小さなサンプルであることに注意してください。ほとんどのシミュレーションまたは「シム」は、少なくとも数千回の試行を実行します。

この場合、在庫が10ドルの価格でゼロ日から始まると仮定しましょう。これは、各タイムステップ（または間隔）が1日で、シリーズが10日間実行される結果のチャートです（要約：10日間にわたる毎日のステップでの40回の試行）。

結果は、10日間の終わりに40のシミュレートされた株価です。いずれも9ドルを下回ることはなく、1ドルは11ドルを超えています。

3.出力を処理する

シミュレーションにより、仮想の将来の結果の分布が作成されました。出力でいくつかのことができます。

たとえば、VaRを95％の信頼度で推定する場合、38番目にランク付けされた結果（3番目に悪い結果）を見つけるだけです。これは、2/40が5％に等しいため、2つの最悪の結果が最も低い5％にあるためです。

図の結果をビンに積み重ねると（各ビンは$ 1の3分の1なので、3つのビンが$ 9から$ 10の間隔をカバーします）、次のヒストグラムが得られます。

GBMモデルは正常性を前提としていることに注意してください。価格リターンは通常、期待リターン（平均）「m」および標準偏差「s」で分布します。興味深いことに、ヒストグラムは正常に見えません。実際、より多くの試行が行われても、正常に向かう傾向はありません。代わりに、対数正規分布に向かう傾向があります。つまり、平均の左側で急激に低下し、平均の右側で大きく歪んだ「ロングテール」になります。

これは、多くの場合、初めての生徒にとって混乱を招く可能性があります。

価格のリターンは通常分配されます。価格レベルは対数正規分配されます。

このように考えてみてください。株価は5％または10％上昇または下降する可能性がありますが、一定期間後、株価がマイナスになることはありません。さらに、上値での値上げは複利効果をもたらしますが、下値での値下げはベースを減らします。10％を失うと、次に失うものが少なくなります。

これは、図示された仮定に重ねられた対数正規分布のチャートです（例：開始価格10ドル）：

ボトムライン

モンテカルロシミュレーションでは、選択されたモデル（機器の動作を指定する）をランダムな試行の大規模なセットに適用して、考えられる将来の結果のセットを生成しようとします。株価のシミュレーションに関して、最も一般的なモデルは幾何学的ブラウン運動（GBM）です。 GBMは、一定のドリフトにはランダムなショックが伴うと想定しています。 GBMの下での期間のリターンは通常分配されますが、結果として生じる複数期間（たとえば、10日）の価格レベルは対数正規分配されます。

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