算術平均と幾何平均

金融ポートフォリオのパフォーマンスを測定し、投資戦略が成功したかどうかを判断する方法は多数あります。投資の専門家は、これを行うために、より一般的には幾何平均と呼ばれる幾何平均をしばしば使用します。

幾何平均は、期間ごとに発生する複利計算を考慮に入れるため、算術平均または算術平均とは計算方法が異なります。このため、投資家は通常、幾何平均を算術平均よりもリターンのより正確な尺度と見なします。

算術平均の式

。。。 $\begin{matrix} A = \frac{1}{n} \sum_{私 = 1}^{n} a_{私} = \frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}}{n} \\ どこ： \\ a_{1} 、 a_{2} 、 \dots 、 a_{n} = 期間のポートフォリオリターン n \\ n = 期間数 \end{matrix} \ begin {aligned}&A = \ frac {1} {n} sum_ {i = 1} ^ n a_i = \ frac {a_1 + a_2 + \ dotso + a_n} {n} \&\ textbf {where：} \&a_1、a_2、\ dotso、a_n = \ text {Portfolioは期間を返します} n \\&n = \ text {期間の数} \ \ end {aligned}$ A = n1 i = 1∑n ai = na1 + a2 +… + an where：a1、a2、…、an =期間にポートフォリオが戻りますnn =期間の数

算術平均

算術平均の計算方法

算術平均は、一連の数値の合計をその一連の数値のカウントで割ったものです。

これは次のように計算されます。

。。。 $\begin{matrix} \frac{60 ％ + 70 ％ + 80 ％ + 90 ％ + 100 ％}{5} = 80 ％ \end{matrix} \ begin {aligned}&\ frac {60 \％+ 70 \％+ 80 \％+ 90 \％+ 100 \％} {5} = 80 \％\\ \ end {aligned}$ 560％+ 70％+ 80％+ 90％+ 100％= 80％

テストスコアに算術平均を使用する理由は、各スコアが独立したイベントであるためです。ある生徒が試験で成績が悪い場合でも、次の生徒が試験で成績が悪い（または良い）可能性は影響を受けません。

金融の世界では、算術平均は通常、平均を計算するための適切な方法ではありません。たとえば、投資収益率を考慮してください。 5年間、金融市場に貯蓄を投資したとします。ポートフォリオのリターンが毎年90％、10％、20％、30％、-90％の場合、この期間の平均リターンはどうなりますか？

算術平均では、平均収益率は12％になり、一見印象的に見えますが、完全に正確ではありません。これは、年間の投資収益率に関しては、数値が互いに独立していないためです。特定の年に多額のお金を失った場合、次の年に投資してリターンを生み出すための資本がはるかに少なくなります。

5年間の実際の平均年間収益率を正確に測定するには、投資収益率の幾何平均を計算する必要があります。

幾何平均の式

。。。 $\begin{matrix} {（ \prod_{私 = 1}^{n} {バツ}_{私} ）}^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{{バツ}_{1} {バツ}_{2} \dots {バツ}_{n}} \\ どこ： \\ {バツ}_{1} 、 {バツ}_{2} 、 \dots = 各期間のポートフォリオリターン \\ n = 期間数 \end{matrix} \ begin {aligned}&\ left（\ prod_ {i = 1} ^ n x_i \ right）^ { frac {1} {n}} = \ sqrt {x_1 x_2 \ dots x_n} \&\ textbf {where ：} \&x_1、x_2、\ dots = \ text {Portfolioは期間ごとに戻る} \&n = \ text {期間の数} \ \ end {aligned}$ （i = 1∏n xi）n1 = nx1 x2… xn where：x1、x2、⋯=各期間のポートフォリオn =期間数

幾何平均の計算方法

一連の数値の幾何平均は、これらの数値の積を取り、それを一連の長さの逆数に上げることによって計算されます。

これを行うには、各数値に1を追加します（負のパーセンテージの問題を回避するため）。次に、すべての数値を掛け合わせ、その積を1の累乗で除算し、シリーズの数値のカウントで除算します。次に、結果から1を引きます。

小数で書かれた式は次のようになります。

。。。 $\begin{matrix} \frac{1}{n} - 1 \\ どこ： \\ R = 戻る \\ n = シリーズの数字の数 \end{matrix} \ begin {aligned}&^ { frac {1} {n}}-1 \\&\ textbf {where：} \&\ text {R} = \ text {Return} \&n = \ text {Countシリーズの数字} \ \ end {aligned}$ n1 -1 where：R = Returnn =シリーズの数字のカウント

フォーミュラはかなり激しいように見えますが、紙の上ではそれほど複雑ではありません。例に戻って、幾何平均を計算してみましょう。収益は90％、10％、20％、30％、および-90％であったため、次のように数式に代入します。

。。。 $\begin{matrix} （ 1 。 9 \times 1 。 1 \times 1 。 2 \times 1 。 3 \times 0 。 1 ）^{\frac{1}{5}} - 1 \end{matrix} \ begin {aligned}&（1.9 \ times 1.1 \ times 1.2 \ times 1.3 \ times 0.1）^ { frac {1} {5}} -1 \\ \ end {aligned}$ （1.9×1.1×1.2×1.3×0.1）51 -1

その結果、幾何平均年収-20.08％が得られます。幾何平均を使用した結果は、以前に計算した12％の算術平均よりもはるかに悪く、残念なことに、この場合の現実を表す数値でもあります。

重要なポイント

幾何平均は、シリアル相関を示すシリーズに最も適しています。これは特に投資ポートフォリオに当てはまります。債券の利回り、株式収益、市場リスクプレミアムなど、金融の収益の大部分は相関しています。期間が長いほど、より重要な複利計算が行われ、幾何平均の使用がより適切になります。揮発性の数値の場合、幾何平均は、前年比の複利計算を考慮することにより、真の収益をはるかに正確に測定します。

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