継続的な複利

複利は、最初の元本と、預金またはローンの過去の期間の累積利子について計算された利子です。複利の効果は頻度に依存します。

年利12％を想定します。年を100ドルで開始し、年末に1回だけ複利すると、元本は112ドル（100ドルx 1.12 = 112ドル）になります。代わりに毎月 1％で複利計算すると、年末には112ドル以上になります。つまり、100ドルx 1.01 ^ 12ドルで112.68ドルです。（より頻繁にコンパウンドしたため、より高くなります。）

連続複利は、最も頻繁に複利を返します。連続複利は、複利が到達できる数学的な限界です。ほとんどの利子は毎月、四半期、または半年ごとに複利されるため、複利の極端なケースです。

半年ごとの収益率

まず、混乱を招く可能性のある規則を見てみましょう。債券市場では、債券換算利回り（または債券換算ベース）を指します。これは、債券が半年ベースで6％を生み出す場合、その債券相当利回りは12％であることを意味します。

画像：Julie Bang©Investopedia 2019

半年ごとの利回りは単純に倍になります。 12％の債券換算利回り債の実効利回りは12.36％（つまり、1.06 ^ 2 = 1.1236）であるため、これは混乱を招く可能性があります。半年ごとの利回りの倍増は、単なる債券の命名規則です。したがって、半年ごとに複利で結合された8％の債券を読んだ場合、これは4％の半年利回りを指すと仮定します。

四半期ごと、月ごと、日ごとの収益率

次に、より高い周波数について説明します。私たちはまだ年間12％の市場金利を想定しています。債券の命名規則の下では、半年ごとの6％の複合レートを意味します。これで、四半期金利を市場金利の関数として表すことができます。

画像：Julie Bang©Investopedia 2019

年次市場レート（ r ）が与えられると、四半期複合レート（ r _q ）は次のように与えられます。

。。。 $\begin{matrix} r_{q} = 4 \end{matrix} \ begin {aligned}&r_q = 4 \ left \\ \ end {aligned}$ rq = 4

したがって、この例では、年間市場レートが12％である場合、四半期の複合レートは11.825％です。

。。。 $\begin{matrix} r_{q} = 4 ≅ 11 。 825 ％ \end{matrix} \ begin {aligned}&r_q = 4 \ left \ cong 11.825 \％\\ \ end {aligned}$ rq =4≅11.825％

画像：Julie Bang©Investopedia 2019

同様のロジックが毎月の調合に適用されます。毎月の複利（ r _m ）は、年間市場金利（ r）の関数としてここに与えられます：

市場金利（ r）の関数としての1日の複利（ d ）は、次の式で与えられます。

。。。 $\begin{matrix} r_{d} & = 360 \\ = 360 \\ ≅ 11 。 66 ％ \end{matrix} \ begin {aligned} r_d&= 360 \ left \\&= 360 \ left \\&\ cong 11.66 \％\\ \ end {aligned}$ rd = 360 =360≅11.66％

連続配合の仕組み

画像：Julie Bang©Investopedia 2019

複合周波数をその限界まで上げると、継続的に複合します。これは実用的ではないかもしれませんが、継続的に複利される金利は驚くほど便利な特性を提供します。連続複利は次のように与えられることがわかります。

。。。 $\begin{matrix} r_{c o n t 私 n あなたは o あなたは s} = \ln （ 1 + r ） \end{matrix} \ begin {aligned}&r_ {continuous} = \ ln（1 + r）\\ \ end {aligned}$ rcontinuous = ln（1 + r）

Ln（）は自然対数であるため、この例では、連続複利率は次のとおりです。

。。。 $\begin{matrix} r_{c o n t 私 n あなたは o あなたは s} = \ln （ 1 + 0 。 12 ） = \ln （ 1 。 12 ） ≅ 11 。 33 ％ \end{matrix} \ begin {aligned}&r_ {continuous} = \ ln（1 + 0.12）= \ ln（1.12）\ cong 11.33 \％\\ \ end {aligned}$ rcontinuous = ln（1 + 0.12）= ln（1.12）≅11.33％

この比率の自然対数、つまり終了値を開始値で割ることにより、同じ場所に到達します。

。。。 $\begin{matrix} r_{c o n t 私 n あなたは o あなたは s} = \ln （ \frac{値_{終わり}}{値_{開始}} ） = \ln （ \frac{112}{100} ） ≅ 11 。 33 ％ \end{matrix} \ begin {aligned}&r_ {continuous} = \ ln \ left（\ frac { text {Value} _ \ text {End}} { text {Value} _ \ text {Start}} right）= \ ln \左（\ frac {112} {100} right）\ cong 11.33 \％\\ \ end {aligned}$ rcontinuous == ln（ValueStart ValueEnd）= ln（100112）≅11.33％

後者は、株式の連続複利を計算するときに一般的です。たとえば、株価が1日10ドルから翌日11ドルに跳ね上がった場合、継続的に複利された日次収益は次のようになります。

。。。 $\begin{matrix} r_{c o n t 私 n あなたは o あなたは s} = \ln （ \frac{値_{終わり}}{値_{開始}} ） = \ln （ \frac{$ 11}{$ 10} ） ≅ 9 。 53 ％ \end{matrix} \ begin {aligned}&r_ {continuous} = \ ln \ left（\ frac { text {Value} _ \ text {End}} { text {Value} _ \ text {Start}} right）= \ ln \左（\ frac { $ 11} { $ 10} right）\ cong 9.53 \％\\ \ end {aligned}$ rcontinuous == ln（ValueStart ValueEnd）= ln（$ 10 $ 11）≅9.53％

r _cで示す連続複利率（またはリターン）の何がすごいのでしょうか？まず、それを前に拡張するのは簡単です。（P）のプリンシパルを考えると、（n）年間の最終的な富は次のようになります。

。。。 $\begin{matrix} w = P e^{r_{c} n} \end{matrix} \ begin {aligned}&w = Pe ^ {r_c n} \ \ end {aligned}$ w = Perc n

e は指数関数であることに注意してください。たとえば、100ドルから始めて、3年間にわたって8％で継続的に複利する場合、最終的な富は次のようになります。

。。。 $\begin{matrix} w = $ 100 e^{（ 0 。 08 ）（ 3 ）} = $ 127 。 12 \end{matrix} \ begin {aligned}&w = \ $ 100e ^ {（0.08）（3）} = \ $ 127.12 \\ \ end {aligned}$ w = $ 100e（0.08）（3）= $ 127.12

現在価値（PV）への割引は単に逆に複合するだけなので、将来価値（F）の現在価値は（ r _c ）の割合で連続的に複合されます：

。。。 $\begin{matrix} （n）年に受け取ったFのPV = \frac{F}{e^{r_{c} n}} = F e^{- r_{c} n} \end{matrix} \ begin {aligned}&\ text {（n）年に受信したFのPV} = \ frac {F} {e ^ {r_c n}} = Fe ^ {-r_c n} \ \ end {aligned}$ （n）年以内に受け取ったFのPV = erc nF = Fe-rc n

たとえば、6％の連続レートで3年間で100ドルを受け取る場合、その現在価値は次のようになります。

。。。 $\begin{matrix} PV = F e^{- r_{c} n} = （ $ 100 ） e^{- （ 0 。 06 ）（ 3 ）} = $ 100 e^{- 0 。 18} ≅ $ 83 。 53 \end{matrix} \ begin {aligned}&\ text {PV} = Fe ^ {-r_c n} =（\ $ 100）e ^ {-（0.06）（3）} = \ $ 100 e ^ {-0.18} cong \ $ 83.53 \\ \ end {aligned}$ PV = Fe-rc n =（$ 100）e−（0.06）（3）= $ 100e−0.18≅ $ 83.53

複数の期間にわたるスケーリング

継続的に複合されたリターンの便利な特性は、複数の期間にわたってスケーリングすることです。最初の期間のリターンが4％で、2番目の期間のリターンが3％の場合、2期間のリターンは7％です。 1年は100ドルで始まり、1年目の終わりには120ドルになり、2年目の終わりには150ドルになります。継続的に複利されたリターンは、それぞれ18.23％と22.31％です。

。。。 $\begin{matrix} \ln （ \frac{120}{100} ） ≅ 18 。 23 ％ \end{matrix} \ begin {aligned}&\ ln \ left（\ frac {120} {100} right）\ cong 18.23 \％\\ \ end {aligned}$ ln（100120）≅18.23％

。。。 $\begin{matrix} \ln （ \frac{150}{120} ） ≅ 22 。 31 ％ \end{matrix} \ begin {aligned}&\ ln \ left（\ frac {150} {120} right）\ cong 22.31 \％\\ \ end {aligned}$ ln（120150）≅22.31％

これらを単純に加算すると、40.55％になります。これは2期間の戻り値です。

。。。 $\begin{matrix} \ln （ \frac{150}{100} ） ≅ 40 。 55 ％ \end{matrix} \ begin {aligned}&\ ln \ left（\ frac {150} {100} right）\ cong 40.55 \％\\ \ end {aligned}$ ln（100150）≅40.55％

技術的に言えば、連続リターンは時間的に一貫しています。時間の一貫性は、バリューアットリスク（VAR）の技術的要件です。これは、単一期間のリターンが正規分布のランダム変数である場合、複数期間のランダム変数も正規分布することを意味します。さらに、複数期間の連続的に複利されたリターンは、正規分布します（単純なパーセンテージリターンとは異なります）。

ボトムライン

年間の金利を半年、四半期、毎月、または毎日の金利（または収益率）に再編成できます。最も頻繁な調合は、連続した調合です。これには、自然対数と指数関数を使用する必要があります。指数関数は、望ましい特性のために金融で一般的に使用されます。

目次:

半年ごとの収益率

四半期ごと、月ごと、日ごとの収益率

連続配合の仕組み

複数の期間にわたるスケーリング

ボトムライン

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