目次
- ブラックショールズモデルとは
- BSMモデルの基本
- ブラックショールズフォーミュラ
- モデルから何がわかりますか？
- 制限事項
ブラックショールズモデルとは
Black-Scholes-Merton（BSM）モデルとしても知られるBlack Scholesモデルは、オプション契約の価格設定のための数学モデルです。 特に、モデルは株式などの金融商品の経時的な変動を推定し、原資産のインプライドボラティリティを使用してコールオプションの価格を導き出します。
重要なポイント
- Black-Scholes Merton（BSM）モデルは、オプション価格の解法に使用される微分方程式です。このモデルは、経済学でノーベル賞を受賞しました。標準BSMモデルは、ヨーロッパのオプションの価格設定にのみ使用され、米国のオプションの可能性を考慮していません有効期限の前に行使されます。
ブラックショールズモデルの基礎
このモデルでは、頻繁に取引される資産の価格は、一定のドリフトとボラティリティを持つ幾何学的なブラウン運動に従うと想定しています。 ストックオプションに適用される場合、モデルには、株価の一定の価格変動、金銭の時間価値、オプションの行使価格、およびオプションの満期までの時間が組み込まれます。
Black-Scholes-Mertonとも呼ばれ、オプション価格設定で最初に広く使用されたモデルでした。 現在の株価、予想される配当、オプションの行使価格、予想される金利、満期までの時間、予想されるボラティリティを使用して、オプションの理論値を計算するために使用されます。
3人のエコノミスト（フィッシャーブラック、マイロンショールズ、ロバートマートン）が開発したフォーミュラは、おそらく世界で最も有名なオプション価格モデルです。 Journal of Political Economyに 掲載された1973年の論文「The Pricing of Options and Corporate Liabilities」で紹介されました。 ブラックは、ショールズとマートンがデリバティブの価値を決定する新しい方法を見つけた仕事で1997年のノーベル経済学賞を受賞する2年前に亡くなりました（ただし、ノーベル賞は死後与えられていません;しかし、ノーベル委員会は、ブラックショールズモデル）。
Black-Scholesモデルは、特定の仮定を行います。
- オプションは欧州であり、満期時にのみ行使できます。オプションの存続期間中は配当は支払われません。市場は効率的です（つまり、市場の動きを予測することはできません）。オプションの購入に取引費用はありません。原資産の無料レートとボラティリティは既知で一定です。原資産のリターンは通常分配されます。
元のBlack-Scholesモデルはオプションの存続期間中に支払われた配当の影響を考慮していませんでしたが、このモデルは、基礎となる株式の配当落ち日価値を決定することで配当を考慮するように頻繁に適合されています。
ブラックショールズフォーミュラ
数式に含まれる数学は複雑であり、威圧的です。 幸いなことに、Black-Scholesモデリングを独自の戦略で使用するために数学を知っている必要はありません。 オプションのトレーダーはさまざまなオンラインオプション計算機にアクセスでき、今日の取引プラットフォームの多くは、計算を実行してオプションの価格設定値を出力するインジケーターやスプレッドシートなどの堅牢なオプション分析ツールを備えています。
ブラックショールズコールオプションの式は、株価に累積標準正規確率分布関数を掛けて計算されます。 その後、累積標準正規分布を掛けた行使価格の正味現在価値（NPV）が、以前の計算の結果値から差し引かれます。
数学表記で：
。。。 Nここで、C =コールオプション価格S =現在の株式（または他の原資産）価格K =ストライクプライサー=リスクフリー金利t =満期までの時間N =正規分布
ブラックショールズモデル
ブラックショールズモデルは何を教えてくれますか？
ブラックショールズモデルは、現代の金融理論で最も重要な概念の1つです。 1973年にフィッシャーブラック、ロバートマートン、マイロンショールズによって開発され、現在でも広く使用されています。 オプションの適正価格を決定する最良の方法の1つと見なされています。 ブラックショールズモデルには、オプションの行使価格、現在の株価、満了までの時間、リスクフリーレート、およびボラティリティの5つの入力変数が必要です。
このモデルでは、資産価格を負にすることはできない（ゼロで区切られている）ため、株価は対数正規分布に従うと想定しています。 これは、ガウス分布とも呼ばれます。 多くの場合、資産価格には大きな右歪度とある程度の尖度（ファットテール）が見られます。 つまり、市場では、正規分布が予測するよりもリスクの高い下方への動きが頻繁に発生します。
したがって、対数正規の原資産価格の仮定は、ブラック・ショールズ・モデルに従って、各行使価格についてインプライド・ボラティリティが類似していることを示すはずです。 しかし、1987年の市場暴落以来、マネーオプションでのインプライドボラティリティは、アウトオブザマネーまたはファーインザマネーよりも低くなっています。 この現象の理由は、市場が高いボラティリティが市場の下落に転じる可能性が高いと価格設定していることです。
これは、ボラティリティスキューの存在につながりました。 有効期限が同じオプションのインプライドボラティリティがグラフにマッピングされると、笑顔またはゆがみの形が見られます。 したがって、ブラックショールズモデルはインプライドボラティリティの計算に効率的ではありません。
ブラックショールズモデルの制限
前述のように、Black Scholesモデルはヨーロッパのオプションの価格設定にのみ使用され、有効期限前に米国のオプションを行使できることを考慮していません。 さらに、モデルは配当とリスクフリーレートが一定であると仮定していますが、これは実際には真実ではない可能性があります。 また、このモデルでは、オプションの耐用年数にわたってボラティリティが一定であると想定していますが、ボラティリティは需要と供給のレベルによって変動するため、そうではありません。
さらに、このモデルでは、取引費用や税金はないと想定しています。 リスクフリー金利はすべての満期に対して一定である; 収益を使用した証券の空売りが許可されていること。 また、リスクのない裁定の機会はありません。 これらの仮定は、これらの要因が存在する現実の世界から逸脱する価格につながる可能性があります。
ブラック、ショールズ、マートン。 ©KhanAcademy
