投資家は高いリターンの約束に集中するのが好きですが、これらのリターンと引き換えにどれだけのリスクを負わなければならないかを尋ねるべきです。 私たちはしばしば一般的な意味でリスクについて話しますが、リスクと報酬の関係の正式な表現もあります。 たとえば、シャープレシオはリスクの単位あたりの超過リターンを測定します。リスクはボラティリティとして計算されます。これは従来の一般的なリスク測定です。 その統計的性質はよく知られており、最新のポートフォリオ理論やブラックショールズモデルなど、いくつかのフレームワークに取り入れられています。 、その用途と限界を理解するために、ボラティリティを調べます。
年次標準偏差
オプションの価格設定理論に属し、市場のコンセンサスに基づいた将来の予測であるインプライドボラティリティとは異なり、通常のボラティリティは後方に見えます。 具体的には、過去のリターンの年間標準偏差です。
標準偏差に依存する従来のリスクフレームワークは、通常、リターンが通常のベル型分布に適合すると想定しています。 正規分布は便利なガイドラインを提供します。約3分の2の時間（68.3％）、収益は1標準偏差（+/-）以内に収まります。 95％の場合、収益は2つの標準偏差内に収まるはずです。 正規分布グラフの2つの品質は、細い「テール」と完全な対称性です。 スキニーテールは、平均値から標準偏差が3を超えるリターンの非常に低い発生（時間の約0.3％）を意味します。 対称性は、上側のゲインの周波数と大きさが下側の損失の鏡像であることを意味します。
SEE：市場のリターンに対するボラティリティの影響
その結果、従来のモデルは、方向に関係なく、すべての不確実性をリスクとして扱います。 多くの人が示しているように、リターンが対称的でない場合、これは問題です。投資家は平均の「左側」の損失を心配しますが、平均の右側の利益については心配しません。
2つの架空の株を使用して、この癖を以下に示します。 落下ストック（青い線）は完全に分散せず、したがってボラティリティはゼロになりますが、上昇ストック-単一のドロップではなく複数のアップサイドショックを示すため、ボラティリティ（標準偏差）は10％です。
理論的性質
たとえば、2004年1月31日現在のS&P 500インデックスのボラティリティを計算すると、14.7％から21.1％のどこかになります。 なぜそんな範囲なのか？ 間隔と履歴期間の両方を選択する必要があるためです。 間隔については、一連の月次、週次、または日次（日中も）のリターンを収集できます。 そして、当社の一連の収益は、3年、5年、10年などの任意の長さの歴史的期間にわたってさかのぼることができます。 以下では、3つの異なる間隔を使用して、10年間のS&P 500のリターンの標準偏差を計算しました。
間隔が長くなるにつれてボラティリティが増加しますが、ほぼ比例しないことに注意してください。毎週は毎日の量のほぼ5倍ではなく、毎月は毎週のほぼ4倍ではありません。 ランダムウォーク理論の重要な側面に到達しました。時間の平方根に比例した標準偏差スケール（増加）です。 したがって、1日の標準偏差が1.1％で、1年に250取引日がある場合、年換算標準偏差は1.1％の1日の標準偏差に250の平方根を掛けたもの（1.1％x 15.8 = 18.1％）です。 。 これを知って、1年の間隔の数の平方根を掛けることにより、S&P 500の間隔の標準偏差を年換算できます。
ボラティリティの別の理論的特性は、あなたを驚かせるかもしれませんし、しないかもしれません。 これは、ランダムウォークアイデアの重要な仮定によるものです。リターンはパーセンテージで表されます。 100ドルから始めて、10％を獲得して110ドルを獲得したとします。 次に、10％を失うと、99ドル（110ドルx 90％= 99ドル）のネットになります。 その後、再び10％を獲得し、108.90ドル（99ドルx 110％= 108.9ドル）を獲得します。 最後に、10％を失い、$ 98.01を純化します。 直感に反するかもしれませんが、平均ゲインが0％であっても、プリンシパルはゆっくりと侵食されます！
たとえば、年間平均10％のゲイン（算術平均）を期待する場合、長期的な期待ゲインは年間10％未満であることがわかります。 実際、それは分散の約半分に減少します（分散は標準偏差の2乗です）。 以下の純粋な仮説では、100ドルから始めて、5年のボラティリティが157ドルで終わることを想定しています。
5年間の平均年間収益率は10％（15％+ 0％+ 20％-5％+ 20％= 50％÷5 = 10％）でしたが、複合年間成長率（CAGRまたは幾何学的収益率）は実現されたゲインのより正確な尺度であり、それはわずか9.49％でした。 ボラティリティは結果を侵食し、その差は1.1％の分散の約半分です。 これらの結果は歴史的な例からではなく、標準偏差が σ（分散は標準偏差の二乗です）、 σ2と予想される平均ゲイン μ予想される年間収益率はおよそ μ−（σ2÷2）。
返品は順調ですか？
理論的な枠組みは間違いなくエレガントですが、行儀の良いリターンに依存しています。 つまり、正規分布とランダムウォーク（つまり、ある期間から次の期間への独立性）です。 これは現実と比較してどうですか？ 以下のS&P 500およびNasdaqについて、過去10年間の毎日のリターンを収集しました（毎日約2, 500回の観測）。
ご想像のとおり、Nasdaqのボラティリティ（年間標準偏差28.8％）は、S&P 500のボラティリティ（年間標準偏差18.1％）よりも大きくなっています。 正規分布と実際のリターンの間には2つの違いがあります。 まず、実際の収益のピークは高く、平均に近い収益の優位性が高いことを意味します。 第二に、実際の返品には幅があります。 （私たちの調査結果は、より高い学術研究と幾分一致しており、高いピークと太った尾を見つける傾向があります;これの専門用語は尖度です）。 マイナス3標準偏差が大きな損失であると考えてみましょう。S&P 500は、約-3.4％の時間でマイナス3標準偏差の毎日の損失を経験しました。 通常の曲線では、このような損失は10年で約3回発生すると予測していますが、実際には14回発生しています。
これらは個別の区間リターンの分布ですが、理論は時間の経過に伴うリターンについて何と言っていますか？ テストとして、上記のS&P 500の実際の毎日の分布を見てみましょう。 この場合、（過去10年間の）平均年間収益率は約10.6％であり、説明したように、年間ボラティリティは18.1％でした。 ここでは、100ドルから開始して10年間にわたって保持することで仮想トライアルを実行しますが、毎年平均10.6％で標準偏差18.1％のランダムな結果に投資をさらしています。 この試行は500回行われ、いわゆるモンテカルロシミュレーションとなりました。 500回の試行の最終的な価格結果を以下に示します。
正規分布は、非常に非正規の価格結果を強調するためだけに背景として表示されます。 技術的には、最終的な価格の結果は対数正規です（x軸をxの自然対数に変換すると、分布はより正規になります）。 ポイントは、いくつかの価格の結果が右にはるかに大きいことです：500回の試行のうち、6つの結果が$ 700の期間終了結果を生成しました！ これらの貴重な少数の成果は、毎年、平均して20年以上、10年以上にわたって獲得することができました。 左側では、残高の減少により損失率の累積効果が減少するため、50ドル未満の最終結果がほんのわずかしか得られませんでした。 難しいアイデアを要約すると、パーセンテージで表される区間リターンは正規分布ですが、最終的な価格結果は対数正規分布であると言えます。
参照：多変量モデル：モンテカルロ分析
最後に、私たちの試験の別の発見は、ボラティリティの「侵食効果」と一致しています。投資が毎年平均で正確に得られた場合、最後に約273ドルを保持します（10年間で10.6％が複合されます）。 しかし、この実験では、予想される全体的な利益は250ドルに近かった。 言い換えると、平均（算術）年収は10.6％でしたが、累積（幾何）収支は少なかったということです。
シミュレーションではランダムウォークを想定していることに留意することが重要です。つまり、ある期間から次の期間へのリターンは完全に独立していると想定しています。 私たちは決してそれを証明していません。それは些細な仮定ではありません。 リターンがトレンドに従うと信じている場合、技術的には正の連続相関を示すと言っています。 それらが平均に戻ると思う場合、技術的には負のシリアル相関を示すと言っています。 どちらのスタンスも独立性と一致していません。
ボトムライン
ボラティリティは、収益の年率標準偏差です。 従来の理論的枠組みでは、リスクを測定するだけでなく、長期（複数期間）リターンの期待に影響します。 そのため、区間リターンは通常分布し、独立しているという疑わしい仮定を受け入れるように求めています。 これらの仮定が当てはまる場合、高ボラティリティは両刃の剣です：予想される長期リターンを損なう（算術平均を幾何平均に低下させる）が、いくつかの大きな利益を得る機会をより多く提供します。
参照：インプライドボラティリティ：安値で買い、高値で売る
