モンテカルロシミュレーションでよりスマートにベット

金融では、さまざまな潜在的結果のために、数字または金額の将来価値の見積りに伴う不確実性とリスクがかなりあります。モンテカルロシミュレーション（MCS）は、将来の結果の推定に伴う不確実性を減らすのに役立つ1つの手法です。 MCSは、複雑な非線形モデルに適用したり、他のモデルの精度とパフォーマンスの評価に使用したりできます。また、リスク管理、ポートフォリオ管理、価格デリバティブ、戦略的計画、プロジェクト計画、コストモデリングなどの分野でも実装できます。

定義

MCSは、モデルの入力変数の不確実性を確率分布に変換する手法です。分布を組み合わせて、そこから値をランダムに選択することにより、シミュレートされたモデルを何度も再計算し、出力の確率を引き出します。

基本的な特徴

MCSでは、複数の入力を同時に使用して、1つ以上の出力の確率分布を作成できます。異なるタイプの確率分布をモデルの入力に割り当てることができます。分布が不明な場合、最適な表現を選択することができます。乱数の使用は、MCSを確率論的な方法として特徴付けます。乱数は独立している必要があります。それらの間には相関関係が存在しないはずです。MCSは、出力を固定値ではなく範囲として生成し、出力値が範囲内で発生する可能性を示します。

MCSで頻繁に使用される確率分布

正規分布/ガウス分布 –平均と標準偏差が与えられ、平均が変数の最も可能性の高い値を表す状況で適用される連続分布。それは平均に関して対称的であり、制限されていません。

対数正規分布 –平均と標準偏差で指定される連続分布。これは、正の歪度と正規分布の自然対数を持つ、ゼロから無限の範囲の変数に適しています。

三角分布 –最小値と最大値が固定された連続分布。最小値と最大値に制限され、対称（最も可能性の高い値=平均=中央値）または非対称のいずれかになります。

均一分布 –既知の最小値と最大値に制限された連続分布。三角分布とは対照的に、最小値と最大値の間で値が発生する可能性は同じです。

指数分布 –発生率がわかっている場合、独立した発生間の時間を示すために使用される連続分布。

MCSの背後にある数学

確率周波数関数P（x）（Xが離散の場合）または確率密度関数f（x）（Xが連続の場合）をもつ実数値関数g（X）があると考えてください。それから、g（X）の期待値をそれぞれ離散項と連続項で定義できます。

。。。 $\begin{matrix} E （ g （バツ）） = \sum_{- \infty}^{+ \infty} g （バツ） P （バツ）、 \\ どこ P （バツ） > 0 そして \sum_{- \infty}^{+ \infty} P （バツ） = 1 \\ E （ g （バツ）） = \int_{- \infty}^{+ \infty} g （バツ） f （バツ） d バツ、 \\ どこ f （バツ） > 0 そして \int_{- \infty}^{+ \infty} f （バツ） d バツ = 1 \\ 次に、と呼ばれるをランダムに描画します n バツ（ {バツ}_{1} 、 \dots 、 {バツ}_{n} ） \\ 試運転またはシミュレーション運転、計算 g （ {バツ}_{1} ）、 \dots 、 g （ {バツ}_{n} ） \end{matrix} \ begin {aligned}&E（g（X））= \ sum ^ {+ \ infty} _ {-\ infty} g（x）P（x）、\\&\ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ text {where} P（x）> 0 \ text {and} sum ^ {+ \ infty} _ {-\ infty} P（x）= 1 \\&E（g（X））= \ int ^ {+ \ infty} _ {-\ infty} g（x）f（x）\、dx、\\&\ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ text {ここで} f（x）> 0 \ text {および} int ^ {+ \ infty} _ {-\ infty} f（x）\、dx = 1 \\&\ text {次に、$ X（x_1、\ ldots、x_n）$の$ n $のランダムな描画を呼び出します} \&\ text {試運転またはシミュレーション運転、$ g（x_1）、\ ldots、g（x_n）$} \&\ text {を計算し、サンプルの$ g（x）$の平均を求めます：} end {aligned}$ E（g（X））= − ∞∑ +∞g（x）P（x）、ここでP（x）> 0および−∞∑ +∞P（x）= 1E（g（X）） = ∫−∞ +∞g（x）f（x）dx、ここでf（x）> 0および∫−∞ +∞f（x）dx = 1次に、X（x1、… 、xn）、呼び出された試行実行またはシミュレーション実行、g（x1）、…、g（xn）を計算

。。。 $\begin{matrix} g_{n}^{μ} （バツ） = \frac{1}{n} \sum_{私 = 1}^{n} g （ {バツ}_{私} ）、最終的なシミュレートを表します \\ の値 E （ g （バツ））。 \\ だから g_{n}^{μ} （バツ） = \frac{1}{n} \sum_{私 = 1}^{n} g （バツ）モンテカルロになります \\ の推定量 E （ g （バツ））。 \\ なので n \to \infty 、 g_{n}^{μ} （バツ） \to E （ g （バツ））、したがって、私たちは今できるようになりました \\ 推定平均の周りの分散を計算する \\ の不偏分散 g_{n}^{μ} （バツ）： \end{matrix} \ begin {aligned}&g ^ \ mu_n（x）= \ frac {1} {n} sum ^ n_ {i = 1} g（x_i）、\ text {これは最終的なシミュレーションを表します} \&\ text { } E（g（X））。\\\\&\ text {したがって} g ^ \ mu_n（X）= \ frac {1} {n} sum ^ n_ {i = 1} g（X）の値\ text {はモンテカルロになります} \&\ text {} E（g（X））の推定値。\\\\&\ text {As} n \ to \ infty、g ^ \ mu_n（X）\ E（g（X））に、\ text {このようにして、} \&\ text {推定平均の周りの分散を計算できます} \&\ text {} g ^ \ mu_n（ X）\ text {：} \&Var（g ^ \ mu_n（X））= \ frac {1} {n-1} sum ^ n_ {i = 1}（g（x_i）-g ^ \ mu_n（ x））^ 2. \ end {aligned}$ gnμ（x）= n1 i = 1∑n g（xi）、これはE（g（X））の最終的なシミュレーション値を表します。したがって、gnμ（X）= n1 i = 1∑n g（X）はE（g（X））のモンテカルロ推定量になります。n→∞、gnμ（X）→E（g（X））として、推定平均の分散を計算することができます。 gnμの不偏分散（X）：

簡単な例

単価、販売台数、変動費の不確実性はEBITDにどのように影響しますか？

著作権ユニット販売）-（変動費+固定費）

表の入力のそれぞれの最小値と最大値で指定される三角分布を使用して、入力の不確実性（単価、販売単価、変動費）を説明します。

著作権

感度チャート

感度チャートは、出力に対する入力の影響を分析する場合に非常に役立ちます。ユニット販売は、シミュレートされたEBITDの分散の62％、変動費は28.6％、単価は9.4％であるということです。販売台数とEBITDの間、および販売単価とEBITDの間の相関関係は正であるか、販売台数または販売単価の増加がEBITDの増加につながります。一方、変動費とEBITDは負の相関関係にあり、変動費を削減することでEBITDが増加します。

著作権

入力値の不確実性を実際の分布と一致しない確率分布で定義し、そこからサンプリングすると誤った結果が得られることに注意してください。さらに、入力変数が独立しているという仮定は有効ではない場合があります。誤解を招く結果は、相互に排他的な入力、または2つ以上の入力分布の間に有意な相関が見つかった場合に発生する可能性があります。

ボトムライン

MCSの手法は簡単で柔軟です。不確実性とリスクを一掃することはできませんが、確率的特性をモデルの入力と出力に帰することで、それらを理解しやすくすることができます。予測変数に影響するさまざまなリスクや要因を判断するのに非常に役立ち、したがって、より正確な予測につながる可能性があります。また、試行回数が少なすぎてはならないことに注意してください。これは、モデルをシミュレートするには不十分であり、値のクラスタリングが発生する可能性があるためです。

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