オプションを評価するのは難しい作業です。 次のシナリオを考えてみましょう。2015年1月、IBMの株価は155ドルで取引されていましたが、今後1年間で上昇すると予想していました。 IBM株式のコールオプションを155ドルのATMストライク価格で購入し、高い購入価格での株式購入と比較して、小さなオプションコスト（オプションプレミアム）に基づいて高い収益率の恩恵を受けることを期待しています。
IBMでのこのコールオプションの公正価値はどの程度ですか？
今日では、Black-Scholesモデルや二項ツリーモデルなどのオプションを評価するためのいくつかの異なる既製の方法が用意されており、迅速な回答が得られます。 しかし、そのような評価モデルに到達するための基本的な要因と推進コンセプトは何ですか？ これらのモデルの概念に基づいて、同様の何かを準備できますか？
ここでは、オプションなどの資産の評価モデルを構築するためのフレームワークとして使用できるビルディングブロック、基礎となる概念、および要因について説明し、ブラックショールズ（BS ）モデル。
ブラックショールズの前の世界
ブラックショールズ以前は、均衡ベースの資本資産価格モデル（CAPM）が広く採用されていました。 投資家の選好に基づいて、リターンとリスクは互いにバランスが取れていました。つまり、リスクの高い投資家は、同様の割合で高いリターン（の可能性）で補償されることが期待されていました。
BSモデルはCAPMでそのルーツを見つけます。 フィッシャー・ブラックによれば、「私は、可能なすべての株価とワラント値について、ワラントの寿命のあらゆる瞬間に資本資産価格モデルを適用しました。」残念ながら、CAPMはワラント（オプション）価格設定の要件を満たすことができませんでした。
ブラック・ショールズは、アービトラージの概念に基づく最初のモデルであり、リスクベースのモデル（CAPMなど）からパラダイムシフトを行います。 この新しいBSモデルの開発により、CAPMの株価収益率の概念は、完全にヘッジされたポジションがリスクフリーのレートを獲得するという事実の認識に置き換えられました。 これにより、リスクとリターンの変動が取り除かれ、リスク中立の概念を前提として評価が行われる裁定の概念が確立されました。ヘッジ（リスクフリー）ポジションは、リスクのないリターン率につながるはずです。
ブラックショールズの発展
問題を確立し、それを定量化し、その解決のためのフレームワークを開発することから始めましょう。 IBMでATMコールオプションを評価する例で、有効期限が1年で、行使価格が155ドルです。
コールオプションの基本的な定義に基づいて、株価が行使価格レベルに達しない限り、ペイオフはゼロのままです。 そのレベル以降、ペイオフは直線的に増加します（つまり、原資産の1ドルの増加は、コールオプションから1ドルのペイオフを提供します）。
買い手と売り手が公正な評価（ゼロ価格を含む）に同意すると仮定すると、このコールオプションの理論上の公正価格は次のようになります。
- コールオプション価格= $ 0、基になる<ストライクの場合（赤いグラフ）コールオプション価格=（基になる—ストライク）、基になる> =ストライクの場合（青いグラフ）
これはオプションの本質的な価値を表しており、コールオプション購入者の観点からは完璧に見えます。 赤の領域では、買い手と売り手の両方が公正な評価を受けています（売り手へのゼロ価格、買い手へのペイオフゼロ）。 ただし、買い手はプラスの利益を享受できる一方で、売り手は損失を被る（原価格が行使価格を上回った場合）ため、評価の課題は青い領域から始まります。 これは、買い手が価格ゼロの売り手よりも有利な点です。 価格は、売り手が取っているリスクを補償するためにゼロ以外である必要があります。
前者の場合（赤いグラフ）、理論的にはゼロの価格が売り手によって受け取られ、買い手にとってのペイオフの可能性はゼロになります（両方に公平）。 後者の場合（青いグラフ）、原資産とストライキの差額は売り手から買い手に支払われることになっています。 売り手のリスクは、1年の期間にわたっています。 たとえば、基礎となる株価は非常に高くなる可能性があり（4か月後に200ドルになるなど）、売り手は45ドルの差額を買い手に支払う必要があります。
したがって、次のように要約されます。
- 原資産の価格はストライク価格を超えますか？仮にそうなれば、原資産価格はどれだけ高くなりますか（買い手への支払いを決定するため）？
これは、売り手が取る大きなリスクを示しており、それが質問につながります。リスクを取ることで何も得られないのに、なぜそのような電話を売るのでしょうか？
私たちの目的は、売り手が買い手に請求する単一の価格に到達することです。これにより、ゼロ支払い領域（赤）と線形支払い領域（青）の両方で、一年かけてかかっている全体的なリスクを補償できます。 価格は、購入者と販売者の両方にとって公平で許容できるものでなければなりません。 そうでない場合、不公平な価格の支払いまたは受け取りの面で不利な人は市場に参加せず、それによって取引ビジネスの目的を無効にします。 Black-Scholesモデルは、株式の一定の価格変動、金銭の時間価値、オプションの行使価格、オプションの満期までの時間を考慮することにより、この公正な価格を確立することを目指しています。 BSモデルと同様に、独自のメソッドを使用してこの例の評価を行う方法を見てみましょう。
ブルーリージョンの本質的な価値を評価するには？
特定の時間枠内での将来の予想価格変動を予測するための方法がいくつかあります。
- 最近の同じ期間の同様の価格変動を分析できます。 過去のIBM終値は、過去1年間（2014年1月2日から2014年12月31日まで）に、価格が13.5％の185.53ドルから160.44ドルに低下したことを示しています。 IBMの-13.5％の価格の動きを結論付けることはできますか？さらに詳細なチェックは、年間最高値の199.21ドル（2014年4月10日）と年間最低値の150.5ドル（2014年12月16日）に触れたことを示しています。 これらを開始日、2014年1月2日、終値185.53ドルに基づいて、パーセンテージの変化は+ 7.37％から-18.88％に変化します。 これで、以前に計算された13.5％の減少と比較して、変動範囲ははるかに広く見えます。
履歴データの同様の分析と観察を続けることができます。 価格設定モデルの開発を継続するために、将来の価格変動を測定するためのこの簡単な方法論を想定しましょう。
IBMが毎年10％上昇すると仮定します（過去20年の履歴データに基づく）。 基本的な統計では、IBMの株価が+ 10％付近で推移する確率は、過去のパターンが繰り返されると仮定して、IBMの株価が20％上昇または30％下落する確率よりもはるかに高いことが示されています。 同様の履歴データポイントを確率値で収集し、1年の期間におけるIBMの株価の全体的な期待収益率を、確率と関連収益率の加重平均として計算できます。 たとえば、IBMの過去の価格データが次の動きを示しているとします。
- （-10％）25％の時間で、+ 10％の35％の時間で、+ 15％の20％の時間で、+ 20％ 10％の時間、+ 25％の5％の時間、（-15％）の5％の時間。
したがって、加重平均（または期待値）は次のようになります。
（-10％* 25％+ 10％* 35％+ 15％* 20％+ 20％* 10％+ 25％* 5％– 15％* 5％）/ 100％= 6.5％
つまり、平均して、IBM株の価格は、1年で1ドルごとに+ 6.5％を返すと予想されます。 誰かが1年の期間と155ドルの購入価格でIBM株を購入した場合、155 * 6.5％= 10.075ドルの純利益が期待できます。
ただし、これは在庫返品用です。 呼び出しオプションの同様の期待リターンを探す必要があります。
ストライク価格を下回るコールのゼロペイオフ（既存の155ドル-ATMコール）に基づいて、すべてのマイナスの動きはゼロのペイオフを生成し、ストライク価格を超えるすべてのプラスの動きは同等のペイオフを生成します。 したがって、コールオプションの期待されるリターンは次のようになります。
（ -0％ * 25％+ 10％* 35％+ 15％* 20％+ 20％* 10％+ 25％* 5％— 0 ％* 5％）/ 100％= 9.75％
つまり、このオプションの購入に100ドル投資するごとに、9.75ドル（上記の仮定に基づく）を期待できます。
ただし、これは依然としてオプションの本源的額の公正な評価に限定されたままであり、暫定的に発生する可能性のある高い変動に対してオプション売り手が負担するリスクを正しく捕捉しません（上記の年内の高低の場合価格）。 本質的な価値に加えて、買い手と売り手が合意できる価格は何ですか？そのため、売り手は、1年間の時間枠を引き継いでいるリスクをかなり補償されますか？
これらの変動は大きく異なる可能性があり、売り手はそれをどの程度補償したいのかについて独自の解釈を持っている場合があります。 Black-Scholesモデルは、ヨーロピアンタイプのオプション、つまり有効期限前に運動を行わないことを想定しています。 したがって、中間価格の変動による影響を受けず、評価はエンドツーエンドの取引日に基づいています。
リアルデイトレーディングでは、このボラティリティがオプション価格の決定に重要な役割を果たします。 よく見られる青いペイオフ関数は、実際には有効期限でのペイオフです。 現実的に、オプション価格（ピンクのグラフ）は常にペイオフ（青いグラフ）よりも高く、売り手がリスクテイク能力を補うために取る価格を示しています。 これが、オプション価格がオプション「プレミアム」としても知られている理由であり、本質的にリスクプレミアムを示しています。
これは、株価にどれだけのボラティリティが予想されるか、およびどのくらいの期待価値が生じるかに応じて、評価モデルに含めることができます。
Black-Scholesモデルは、次のように（もちろん、独自の仮定内で）効率的にそれを行います。
。。。 C = S×N（d1）−X×e-rTN（d2）
BSモデルは、株価の動きの対数正規分布を想定しています。これは、N（d1）とN（d2）の使用を正当化します。
- 最初の部分では、Sは現在の株価を示します。 N（d1）は、現在の株価の価格変動の確率を示します。
このオプションがインザマネーになり、買い手がこのオプションを行使できるようになると、基礎となるIBM株の1株を取得します。 トレーダーが今日それを行使する場合、S * N（d1）はオプションの現在の期待値を表します。
2番目の部分では、Xは行使価格を示します。
- N（d2）は株価が行使価格を上回る確率を表します。したがって、X * N（d2）は行使価格を上回る株価の期待値を表します。
ブラックショールズモデルは、最後にのみ運動が可能なヨーロッパスタイルのオプションを想定しているため、上記のX * N（d2）で表される期待値は、お金の時間価値に対して割引かれます。 したがって、最後の部分は、一定期間にわたって金利に引き上げられた指数項で乗算されます。
2つの用語の正味の差は、現在のオプションの価格値を示します（2番目の用語は割引されます）
私たちのフレームワークでは、このような価格の動きを複数の方法でより正確に含めることができます。
- 範囲をより細かい間隔に拡大して日中/年内の価格変動を含めることにより、期待収益率の計算をさらに細かくすること現実的な評価のために現在に割引され、現在の値からさらに削減される
したがって、定量分析のために選択される仮定、方法論、カスタマイズに制限はないことがわかります。 取引される資産または考慮される投資に応じて、自己開発モデルに取り組むことができます。 異なる資産クラスの価格変動のボラティリティは大きく変動することに注意することが重要です。株式にはボラティリティのスキューがあり、外国為替にはボラティリティのしかめ面があります。 仮定と欠点はすべてのモデルの不可欠な部分であり、現実世界の取引シナリオでのモデルの知識豊富なアプリケーションはより良い結果をもたらすことができます。
ボトムライン
複雑な資産が市場に参入したり、単純なバニラ資産が複雑な取引形態になったりすると、定量的モデリングと分析が評価に必須になります。 残念ながら、一連の欠点と仮定がない数学モデルはありません。 最良のアプローチは、仮定を最小限に抑え、暗黙の欠点を認識することです。これは、モデルの使用法と適用可能性について線を引くのに役立ちます。
